الأعراف والتبديل العكسي ، الجزء 2: المسافات المترافقة

في الجزء الأول ، نظرنا إلى الجبر الخارجي وأدركنا أنه يمكن تفسير المتجهات العادية ثلاثية الأبعاد على أنها متجهات. لتحويل المتجهات ، في الحالة العامة ، تحتاج إلى مصفوفة تختلف عن تلك التي تحول المتجهات العادية. باستخدام الأساس المتعارف عليه للقيم الثنائية ، اكتشفنا أن هذه هي المصفوفة المجاورة ، والتي تتناسب مع المدور العكسي. هذا المنطق يفسر جزئيًا على الأقل سبب تحويل القواعد بواسطة المصفوفة المنقولة المعكوسة.

ولكن تم إخفاء بعض القضايا.

لقد درسنا المصفوفات المجاورة ، لكننا لم نظهر كيفية ارتباطها بالدليل الجبري على أنه من أجل تحويل معادلة المستوى$$$N\cdot x + d = 0$هناك حاجة إلى مصفوفة منقول معكوس. كان التناسب بين المصفوفات بعيد المنال إلى حد ما.

علاوة على ذلك ، رأينا ذلك $$$k$-توفر المتجهات من الجبر الخارجي كائنات هندسية متجهة مع تفسير طبيعي ، حيث تحتوي على وحدات الطول والمساحة والحجم ، والتي تتغير وفقًا لذلك عند القياس. لكننا لم نعثر على أي شيء مثل هذا بالنسبة للكثافة - الوحدات المعكوسة للطول والمساحة والحجم.

في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على مفهوم هندسي آخر سيكون ضروريًا لإكمال اللوحة. سيؤدي دمج هذا المفهوم الجديد مع الجبر الخارجي الذي تمت دراسته بالفعل إلى توضيح وحل الأسئلة المتبقية.

الوظائف كنواقل

ستركز معظم هذه المقالة على الوظائف التي تقبل وتعيد المتجهات من أنواع مختلفة. لفهم ذلك ، تحتاج إلى القيام ببعض الشقلبة العقلية ، والتي قد تبدو غير منطقية إذا لم تكن قد واجهتها من قبل.

ها هو: الدوال التي ترجع النواقل نفسها هي نواقل

للوهلة الأولى ، قد يبدو هذا البيان بلا معنى. النواقل والوظائف أشياء مختلفة تمامًا ، مثل التفاح و ... الكراسي ، أليس كذلك؟ كيف يمكن لوظيفة حرفيا أن يكون ناقلات الأمراض؟

, . , (). , , : ( ). .

! $$$f$ $$$g$ $$$h(x) = f(x) + g(x)$ $$$x$ . , : $$$g(x) = a\cdot f(x)$. , , .

: $$$X$ ( , ) $$$V$ — . $$$f: X \to V$ . , , "". .

. , .

, .

$$$V$, $$$\Bbb R^3$, $$$V$ $$$f: V \to \Bbb R$. , .

( : $$$\Bbb R$, . !)

(3D) (2D), / , . :



— . . , "́" ( ́ ) , .

, . , .

— $$$V$ — , : ( ) . $$$V^*$. ( ) .

, — , $$$V$ $$$\Bbb R$, . $$$n$- $$$n$ , , . , $$$V^*$ , $$$V$.

, $$$\Bbb R^n$ $$$n$ . . , $$$f$ — $$$\Bbb R^3$ $$$v=(x, y, z)$ — , :

$$

$$\begin{aligned} f(v) &= f(x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z}) \\ &= x \, f({\bf e_x}) + y \, f({\bf e_y}) + z \, f({\bf e_z}) \end{aligned}$$

, $$$(x, y, z)$ $$$\bigl(f({\bf e_x}), f({\bf e_y}), f({\bf e_z}) \bigr)$ — !

, : $$$V^*\times V \to \Bbb R$. .

, , , . , , "" . , — , … .

: $$$\langle w, v \rangle$. $$$w$ — $$$V^*$, $$$v$ — $$$V$. , $$$w$ $$$v$. , — , .

:

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle w, \, x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= x \langle w, {\bf e_x} \rangle + y \langle w, {\bf e_y} \rangle + z \langle w, {\bf e_z} \rangle \end{aligned}$$

, " " , .

$$$V^*$ $$$V$. , $$$\langle w, {\bf e_x} \rangle, \langle w, {\bf e_y} \rangle, \langle w, {\bf e_z} \rangle$ $$$w$ , $$$x, y, z$ $$$V$. $$${\bf e_x^*}, {\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_x} \rangle &= 1 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_y} \rangle &= 0 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_z} \rangle &= 0 \end{aligned}$$

$$${\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$. :

$$

$$\langle {\bf e}_i^*, {\bf e}_j \rangle = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \\ 0 & \text{if } i \neq j, \end{cases} \quad i, j \in \{ {\bf x, y, z} \}$$

$$$V$.

, , , . , . , . .

:

$$$w = p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*}$:

$$$w$ $$$v$ . $$$\langle w, v \rangle$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*} + r {\bf e_z^*}, \; x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= px + qy + rz \end{aligned}$$

, ( ), , , .

! "" ( ), ( 3D), ( ). !

— , . ?

: . , . : - . ( , ).

: $$$M$, $$$f(v)$, $$$g(v)$. $$$g$ $$$f$ :

$$

$$g(Mv)=f(v)$$

$$

$$g(v)=f(M^{-1}v)$$

, , .

, $$$M$. " " : $$$M$ .

, , . $$$a>0$, $$$v\mapsto av$. $$$f(v)\mapsto f({v\over a})$ .

, . $$$f(v) = \langle w, v \rangle$ $$$w$, $$$a$ ?

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle \mapsto & \left\langle w, \frac{v}{a} \right\rangle \\ = & \left\langle \frac{w}{a}, v \right\rangle \end{aligned}$$

$$$1/a$ , , . , $$$w$ :

$$

$$w \mapsto \frac{w}{a}$$

! $$$a$ , $$$1/a$. "" "" . , , !

, . , (, , , //) - . ( ), " "" ?"

"". , , - , . .

. , , — , . .

. , $$$y$ $$$x$:

$$

$$M = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

:



? : .



, ? $$$\bf e_x^*$. , $$$M$ $$$x$ — . $$$\bf e_x^*$?



$$$\bf e_x^*$ , ! , , $$$x$ , $$$\bf e_x^*$ "" , . , .

, $$$\bf e_x^*$ $$${\bf e_x^*} - \tfrac{1}{2}{\bf e_y^*}$. , , , ,

$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

$$$M$!

, , . , , ( ), . $$$M$ :

$$

$$\det M = \text{ } \cdot \text{ }$$

$$

$$\frac{1}{\text{ }} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{ }$$

.

$$

$$M^{-T} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{}(M)$$

, , .

?

, — 2D 3D. , , :

$$

$$\langle w, v \rangle = d$$

$$$w$ .

, $$$\langle w, v \rangle$ , $$$w \cdot v$. :

$$

$$w\cdot v = d$$

, .

, , .

. , , , ? ?

, . " " , , . , : , $$$B \wedge v = d$ $$$\langle w, v \rangle = d$ . : , — .

هذا هو كل ما أردت التحدث عنه حول التحولات في النواقل العادية ، ولكن تبقى بعض الأسئلة في طي النسيان. في نهاية الجزء الأول ، طرحت سؤالًا حول درجات المقياس السالبة. الآن لدينا ناقص الدرجة الأولى ، لكن ماذا عن -2 و -3؟ لفهم ذلك ، علينا الجمع بين الجبر الخارجي والمسافات المزدوجة ، وهو ما سنفعله في الجزء الثالث.