وهناك الكثير قد كتب عن قانون الأعداد الكبيرة (zbch) (على سبيل المثال، في اللغة الإنجليزية، هنا و هنا ، أيضا [1]). سأحاول في هذا النص أن أتحدث عن ماهية قانون الأعداد الكبيرة - عن التصور الخاطئ لهذا القانون والمزالق المحتملة المخبأة في الصيغ الرياضية.
لنبدأ بما هو قانون الأعداد الكبيرة. بشكل غير رسمي ، هذه نظرية رياضية مفادها أن "احتمال انحرافات متوسط العينة عن التوقع الرياضي صغير" وأن "هذا الاحتمال يميل إلى الصفر مع نمو العينة". غير رسمي إلى حد ماتنص النظرية على أنه يمكننا أن نكون واثقين بشكل معقول من أن متوسط العينة قريب بدرجة كافية من المتوسط "الحقيقي" وبالتالي يصفه جيدًا. بالطبع ، يُفترض أن هناك "أمتعة" إحصائية تقليدية - يجب أن تصف ملاحظاتنا من العينة نفس الظاهرة ، ويجب أن تكون مستقلة ، ولا ينبغي أن تسبب لنا فكرة وجود بعض التوزيع "الحقيقي" مع "حقيقي" شكوك كبيرة.
عندما نصوغ القانون ، نقول "متوسط العينة" ، وأي شيء يمكن كتابته رياضيًا على هذا النحو يقع تحت القانون. على سبيل المثال ، يمكن تسجيل حصة الأحداث في الكتلة الكلية كمتوسط - نحتاج فقط إلى تسجيل وجود حدث على أنه "1" والغياب كـ "0". نتيجة لذلك ، سيكون المتوسط مساويًا للتردد ويجب أن يكون التردد قريبًا من المتوسط النظري. لهذا السبب نتوقع أن تكون النسبة المئوية للرؤوس قريبة من عند قلب عملة مثالية.
فكر الآن في المزالق والمفاهيم الخاطئة حول هذا القانون.
أولاً ، ZBCH ليس صحيحًا دائمًا. هذه مجرد نظرية رياضية مع "مدخلات" - افتراضات. إذا كانت الافتراضات خاطئة ، فلا يلزم تطبيق القانون. على سبيل المثال ، يكون هذا صحيحًا إذا كانت الملاحظات معتمدة ، أو إذا لم يكن هناك يقين من وجود المتوسط "الحقيقي" وبالطبع ، أو إذا تغيرت الظاهرة قيد الدراسة بمرور الوقت ولا يمكننا القول إننا نلاحظ نفس الكمية. في الحقيقة ، إلى حد ما ، فإن ZBC صحيح أيضًا في هذه الحالات ، على سبيل المثال ، بالنسبة للملاحظات ضعيفة الارتباط أو حتى في الحالة التي تتغير فيها القيمة الملاحظة بمرور الوقت. ومع ذلك ، لتطبيق هذا بشكل صحيح على الواقع الفوري ، هناك حاجة إلى عالم رياضيات متخصص جيد التدريب.
ثانيًا ، يبدو أنه من الصحيح أن ZBR تدعي أن "متوسط العينة قريب من المتوسط الحقيقي". ومع ذلك ، يظل هذا البيان غير مكتمل: من الضروري إضافة "بدرجة عالية من الاحتمال ؛ وهذا الاحتمال دائمًا أقل من 100٪ ".
ثالثًا ، أود صياغة ZBP على أنه "متوسط العينة يتقارب مع المتوسط الحقيقي بنمو غير محدود للعينة". ومع ذلك ، هذا ليس صحيحًا لأن متوسط العينة لا يتقارب على الإطلاق ، لأنه عشوائي ويظل كذلك بالنسبة لأي حجم عينة. على سبيل المثال ، حتى لو قلبت عملة متماثلة مليون مرة ، فهناك احتمال أن تكون نسبة الصور بعيدة عن ½ أو حتى الصفر. بمعنى ما ، هناك دائمًا فرصة للحصول على شيء خارج عن المألوف. ومع ذلك ، يجب أن نعترف بأن حدسنا لا يزال يخبرنا أن ZBP يجب أن يصف نوعًا من التشابه ، وهذا هو الحال بالفعل. فقط ليس المقصود هو "التقارب" ، ولكن "احتمال انحراف العينة يعني عن قيمتها الحقيقية" ، ويتقارب إلى الصفر. نظرًا لأن هذه الفكرة مريحة جدًا بشكل حدسي ("فرص رؤية شيء غير عادي تميل إلى الصفر") ،ابتكر علماء الرياضيات لهذا نوع خاص من التقارب - "التقارب في الاحتمالات".
رابعًا ، لا يقول ZBH أي شيء عن الوقت الذي يمكن فيه اعتبار متوسط العينة قريبًا بدرجة كافية من المتوسط النظري. لا يفترض قانون الأعداد الكبيرة إلا وجود ظاهرة معينة ؛ ولا يقول شيئًا عن متى يمكن استخدامها. اتضح أن قانون الأعداد الكبيرة لا يجيب على السؤال الرئيسي من وجهة نظر الممارسة - "هل يمكنني استخدام ZBN لعينتي ذات الحجم n؟" تقدم نظريات أخرى إجابات على هذه الأسئلة ، على سبيل المثال ، نظرية الحدود المركزية. يعطي فكرة عن المدى الذي قد ينحرف فيه متوسط العينة عن قيمته الحقيقية.
في الختام ، يجب ملاحظة الدور المركزي لـ ZBP في نظرية الإحصاء والاحتمالات. بدأ تاريخ هذا القانون عندما لاحظ العلماء أن ترددات بعض الظواهر المتكررة تستقر وتتوقف عن التغير بشكل كبير ، مع مراعاة تكرار التجربة أو الملاحظة. اللافت للنظر أن "استقرار التردد" هذا قد لوحظ لظواهر غير مرتبطة تمامًا - من لفات النرد إلى المحاصيل الزراعية ، مما يشير إلى احتمال وجود "قانون الطبيعة". ومن المثير للاهتمام أن قانون الطبيعة هذا تبين أنه جزء من الرياضيات ، وليس الفيزياء أو الكيمياء أو علم الأحياء ، كما هو الحال عادةً مع قوانين الطبيعة.
[1] توضيح قانون الأعداد الكبيرة (وفترات الثقة) جيفري دي بلوم وريتشارد إم رويال
قانون الأعداد الكبيرة وما هو ليس كذلك
All Articles