اكتشف العلماء الهندسة العالمية للجيولوجيا ، واتضح أن العالم يتكون من مكعبات

أدت التدريبات في الرياضيات البحتة إلى إنشاء نظرية واسعة النطاق حول بنية العالم

في وقت ما في منتصف صيف عام 2016 ، صعد عالم الرياضيات المجري غابور دوموكوس إلى شرفة منزل دوغلاس جيرولماك ، عالم جيوفيزيائي من فيلادلفيا. كان مع دوموكوش حقائب سفر ، نزلة برد شديدة وسر مشتعل.



بعد ذلك بقليل ، سار رجلان على طول ممر الحصى في الفناء الخلفي حيث احتفظت زوجة جيرولماك بعربة تاكو. تكسر الحجر الجيري تحت أقدامهم. أشار دوموكوش إلى قدميه.



"كم عدد وجه كل من هذه الأحجار؟" - سأل. ثم ابتسم. "ماذا لو أخبرتك أنه عادة ما يكون هناك ستة منهم؟" ثم سأل سؤالاً أكثر عمومية كان يأمل أن يبقى في دماغ زميله بشكل دائم. ماذا لو كان العالم من مكعبات؟



اعترض جيرولماك أولاً: ربما تكون المنازل مبنية من الطوب ، لكن الأرض مصنوعة من الحجارة. ومن الواضح أن شكل الحجارة مختلف. يتفتت الميكا إلى قشور ، وتنكسر البلورات على طول محاور محددة بشكل صارم. ومع ذلك ، جادل دوموكوش بأن الرياضيات البحتة وحدها تعني أن أي حجارة تنكسر عشوائيًا ستولد أشكالًا بمتوسط ​​ستة وجوه وثمانية رؤوس. إذا أخذنا المتوسط ​​لكل منهم ، فسيميل إلى نوع من المكعب المثالي. قال دوموكوش إنه أثبت ذلك رياضيًا. الآن هو بحاجة إلى Jerolmak لمساعدته على إظهار أن هذا يحدث أيضًا في الطبيعة.



قال جيرولماك ، الأستاذ في جامعة بنسلفانيا: "لقد كان تنبؤًا هندسيًا واضحًا ، ولد من الطبيعة ، وبدون أي فيزياء". "كيف بحق الجحيم سمحت الطبيعة بذلك على الإطلاق؟"



على مدى السنوات القليلة التالية ، استكشف الزوجان فكرتهما الهندسية ، واستكشف كل شيء من الأجزاء المجهرية من الصخور إلى نتوءات الصخور الجيولوجية ، وأسطح الكواكب ، وحتى حوار أفلاطون تيماوس . كل هذا غطى المشروع بلمسة من التصوف. أحد أعظم الفلاسفة حوالي عام 360 قبل الميلاد تعيين خمسة أجسام صلبة أفلاطونيةمع خمسة "عناصر" للكون: الأرض والهواء والنار والماء والمادة النجمية. عن طريق الصدفة و / أو البصيرة ، قام أفلاطون بمطابقة المكعبات ، التي من الأفضل تكديسها ، مع الأرض. قال جيرولماك: "وفكرت - حسنًا ، لقد دخلنا بالفعل منطقة الميتافيزيقيا قليلاً". ومع ذلك ، استمر





جابور دوموكوس ودوغلاس جيرولماك



في العثور على شبه مكعبات متوسطة في الطبيعة ، بالإضافة إلى العديد من الأشكال التي لا تشبه المكعبات ، ولكنها تخضع لنفس النظرية. نتيجة لذلك ، أنشأوا منصة رياضية جديدة: لغة وصفية تعبر عن كيفية انهيار الأشياء. نُشر هذا العام ، وكان عملهم المشترك مع العنوان يشبه مجلدًا مقصورًا على فئة معينة من سلسلة هاري بوتر: مكعب أفلاطون والهندسة الطبيعية للتجزئة.



قال العديد من علماء الجيوفيزياء الذين اتصلت بهم المجلة إن نفس المنصة الرياضية يمكن استخدامها في مهام أخرى ، مثل دراسة تآكل صدوع الصخور ، أو منع الانهيارات الأرضية الخطيرة. قال عالم الجيومورفولوجيا ميكائيل أتال من جامعة إدنبرة ، أحد اثنين من المراجعين لهذا العمل: "إنه أمر ممتع للغاية" . وقال مراجع آخر ، وهو الجيوفيزيائي ديفيد فوربيش من جامعة فاندربيلت ، "هذا النوع من العمل يتركني أتساءل عما إذا كان بإمكاني الاستفادة بطريقة ما من هذه الأفكار؟"

كل العيوب الممكنة

قبل وقت طويل من زيارته لفيلادلفيا ، كان لدى دوموكوش سؤال رياضي أكثر خطورة.



لنفترض أنك حطمت شيئًا ما إلى أجزاء كثيرة. الآن لديك فسيفساء - مجموعة من الأشكال التي يمكن تجميعها دون تداخل أو فواصل ، مثل الأرضية في حمام روماني قديم. افترض أيضًا أن جميع الأشكال محدبة.



في البداية ، تساءل دوموكوش عما إذا كان من الممكن فقط عن طريق الهندسة التنبؤ بالأرقام التي تتكون في المتوسط ​​من مثل هذه الفسيفساء. ثم أراد أن يتعلم كيفية وصف جميع المجموعات الأخرى الممكنة لمثل هذه الشخصيات.



في بعدين ، لا تحتاج إلى تقسيم أي شيء إلى أجزاء لدراسة هذه المسألة. خذ قطعة من الورق. قم بقصها عشوائيًا عن طريق تقسيم الورقة إلى قسمين. ثم قم بعمل قطع واحد في كل من هذه المضلعات. كرر العملية عدة مرات. احسب متوسط ​​عدد الرؤوس لكل قطعة من الورق.



بالنسبة لشخص يدرس الهندسة ، لن يكون العثور على إجابة لهذا السؤال صعبًا للغاية. قال دوموكوش: "أضع علبة بيرة ، ويمكنني مساعدتك في الحصول على هذه الصيغة في غضون ساعتين". في المتوسط ​​، يجب أن تحتوي القطع على أربعة رؤوس وأربعة جوانب ، ويكون متوسط ​​شكلها مستطيلًا.



يمكن رؤية نفس المشكلة في ثلاثة أبعاد. قبل حوالي 50 عامًا ، عالم فيزياء نووي روسي ، حائز على جائزة نوبل للسلام ، ثم أصبح منشقًا ، فكر أندريه دميترييفيتش ساخاروف في نفس المشكلة عندما كان يقطع الملفوف مع زوجته. كم عدد الرؤوس التي سيكون لكل قطعة ناتجة في المتوسط؟ سلم ساخاروف هذه المهمة إلى عالم الرياضيات السوفيتي الأسطوري فلاديمير إيغوريفيتش أرنولد وتلميذه. ومع ذلك ، لم يجدوا حلاً كاملاً ، ونسيت محاولاتهم إلى حد كبير.





صخور Moeraki في نيوزيلندا



كتب دوموكوش ، الذي لم يكن يعرف عن عملهم ، دليلاً ، كانت الإجابة عليه مكعبات. لكنه أراد التحقق من صحتها. قرر أنه إذا كانت الإجابة على هذه المشكلة موجودة بالفعل ، فيجب إخفاؤها في العمل غير المفهوم لعالِيّ الرياضيات الألمان وولفغانغ ويل ورولف شنايدر - وهو عملاق يبلغ من العمر 80 عامًا من مجال الهندسة [لم يتم الإشارة إلى العنوان في الأصل - على ما يبدو ، فهو يعني الكتاب " Stochastic وهندسة متكاملة "/ تقريبًا. لكل.]. دوموكوش عالم رياضيات محترف ، لكن نص الكتاب كان ثقيلًا جدًا بالنسبة له.



قال دوموكوش: "وجدت شخصًا وافق على قراءة جزء من الكتاب لي وترجمته مرة أخرى إلى لغة بشرية". وجد نظرية هناك لأي عدد من الأبعاد. وأكدت أن المكعبات تظهر في الإجابة بثلاثة أبعاد.



وجد دوموكوش الآن أرقامًا متوسطة يتم الحصول عليها عن طريق قطع سطح مستوٍ أو لبنة ثلاثية الأبعاد. ظهر سؤال أكثر عمومية. أدرك دوموكوش أنه يمكنه أيضًا تطوير وصف رياضي ليس فقط للأرقام المتوسطة ، ولكن أيضًا من المحتمل أن يكون أيًا منها: ما هي مجموعة الأرقام التي يمكن ، من حيث المبدأ ، الحصول عليها من خلال قسمة الشيء؟



تذكر أن الأشكال التي تم الحصول عليها بعد تفكك الكائن عبارة عن فسيفساء. يمكن وضعها معًا دون تداخل أو فجوات. يمكن بسهولة صنع المستطيلات التي قطعناها على الورقة بحيث تملأ فسيفساء ثنائية الأبعاد. السداسيات قادرة أيضًا على ذلك - في الحالة المثالية للمجموعة ، والتي يسميها علماء الرياضيات " مخطط فورونوي ". لكن لا يمكن رصف الطائرة بخماسيات أو مثمن.





هندسة المريخ. لتحليل السطح - في هذه الحالة ، السطح الذي يشبه قرص العسل لحفرة المريخ - حدد الباحثون جميع القمم والجوانب. يحسبون عدد الرؤوس لكل خلية وعدد الخلايا التي تكون كل منها مشتركة.



لتصنيف الفسيفساء بشكل صحيح ، بدأ دوموكوش في وصفها برقمين. الأول هو متوسط ​​عدد الرؤوس لكل خلية. والثاني هو متوسط ​​عدد الخلايا المختلفة التي يوجد لها رأس واحد مشترك. لذلك ، على سبيل المثال ، في فسيفساء من البلاط السداسي ، كل بلاطة لها ستة رؤوس. وكل رأس مشترك في ثلاثة أشكال سداسية.



في الفسيفساء ، تعمل مجموعات معينة فقط من هاتين المعلمتين ، مما يعطي نطاقًا صغيرًا من الأشكال التي يمكن لشيء ما ، من حيث المبدأ ، أن يتفكك.



مرة أخرى ، من السهل جدًا العثور على هذا النطاق في بعدين ، ولكنه أكثر صعوبة في ثلاثة أبعاد. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تضاف المكعبات معًا بشكل جيد جدًا ، ولكن هناك أنواعًا أخرى من الأشكال ، بما في ذلك تلك التي تشكل نسخًا ثلاثية الأبعاد من مخطط فورونوي. من أجل عدم تعقيد المشكلة ، اقتصر دوموكوش على فسيفساء من الخلايا المحدبة المنتظمة ذات الرؤوس المشتركة. نتيجة لذلك ، توصل هو وعالم الرياضيات زولت لانجي إلى فرضية جديدة من خلال رسم منحنى يناسب جميع الفسيفساء ثلاثية الأبعاد الممكنة. قال دوموكوس إنهم نشروا العمل في مجلة الرياضيات التجريبية ، "ثم أرسلته كلها إلى رولف شنايدر ، إلهنا".





مساحة المكعبات. في الأبعاد الثلاثة ، يتم تقسيم معظم الأحجار إلى مكعبات تحتوي كل خلية على ثمانية رؤوس. تتناسب خريطة الفسيفساء المسموح بها ذات الأشكال المحدبة ذات الخلايا المنتظمة ذات الرؤوس المشتركة في شريط ضيق. تم تمييز مساحة الأشكال شبه المكعبة باللون الأحمر.

عمودي: عدد الرؤوس لكل خلية

أفقي: عدد الخلايا المشتركة في كل رأس



"سألته عما إذا كان من الضروري شرح كيف توصلت إلى هذه الفرضية ، لكنه قال إنه يعرفها" ، يضحك دوموكوش. "كان الأمر أكثر أهمية بالنسبة لي بمئة مرة من قبول مقال من قبل أي مجلة في العالم".



الأهم من ذلك ، أن Domokosh لديها الآن منصة. قدمت الرياضيات طريقة لتصنيف جميع طرق تقسيم الأسطح والكتل. وتوقعت الهندسة أنه إذا كسرت سطحًا مستويًا عن طريق الصدفة ، فسوف ينقسم إلى شيء مثل المستطيلات. في ثلاثة أبعاد ، سينتج عن الانقسام شيء مثل المكعبات.



ولكن لكي يكون كل هذا مهمًا لشخص آخر غير مجموعة صغيرة من علماء الرياضيات ، كان على دوموكوش إثبات أن العالم الحقيقي يخضع أيضًا لهذه القواعد.

من الهندسة إلى الجيولوجيا

بحلول الوقت الذي كان فيه دوموكوش في فيلادلفيا في عام 2016 ، كان قد حقق بالفعل شيئًا ما في حل المشكلة فيما يتعلق بالعالم الحقيقي. بالتعاون مع زملائهم من جامعة بودابست للتكنولوجيا والاقتصاد ، قاموا بجمع أجزاء من الدولوميت التي انفصلت عن صخرة هارماشاتار-هيغي ، الواقعة في بودابست. لعدة أيام ، قام عامل المختبر ، دون أي تحيز حول المكعبات ، بحساب عدد الوجوه والرؤوس من مئات القطع. ما متوسط ​​الدرجات التي حصل عليها؟ ستة وجوه وثماني قمم. اكتشف دوموكوس ، مع يانوس توروك ، وهو جهاز محاكاة حاسوبي ، وفرينك كون ، الخبير في فيزياء التجزئة ، أن أشباه المكعبات المتوسطة ظهرت في أنواع أخرى من الصخور ، مثل الجبس والحجر الجيري.



مسلحًا بالرياضيات والأدلة المادية المبكرة ، طرح دوموكوش فكرته على جيرولماك المثقل. قال جيرولماك: "لقد أنومني مغناطيسيًا واختفى كل شيء آخر لفترة من الوقت".



لم يكن تحالفهم جديدًا. منذ سنوات عديدة ، اكتسبت شهرة Domokosh من خلال إثبات وجود Gömböts.- شخصية مضحكة ثلاثية الأبعاد تتحول بعناد إلى وضع توازن معين. لمعرفة ما إذا كان بإمكان Gömböts أن يوجد في الواقع ، اجتذب Jerolmak ، الذي ساعد في تطبيق هذا المفهوم لشرح الشكل الدائري للحصى على الأرض والمريخ [وضع فلاديمير أرنولد يده هنا ، لأول مرة طرح مسألة وجود مثل هذه الأجسام / تقريبًا. لكل.]. الآن طلب دوموكوش مرة أخرى المساعدة لتحويل بعض المفاهيم الرياضية النظرية إلى حجر ملموس.





Gömbötz هو شكل محدب ثلاثي الأبعاد متجانس مع نقطة واحدة بالضبط من التوازن المستقر ونقطة واحدة غير مستقرة



اتفق الزوجان على خطة جديدة. لإثبات وجود المكعبات الأفلاطونية في الطبيعة ، احتاجوا إلى إظهار أكثر من مجرد مصادفة عشوائية للهندسة وحفنة من الحصى. لقد احتاجوا إلى النظر إلى كل الصخور ، ثم رسم نظرية مقنعة لكيفية تسلل الرياضيات المجردة إلى الجيوفيزياء الفوضوية ، ثم إلى واقع أكثر فوضوية.



قال جيرولماك في البداية "بدا أن كل شيء يعمل". تنبأت رياضيات دوموكوش بأن شظايا الحجارة يجب أن تكون في المتوسط ​​مكعبات. يبدو أن عددًا متزايدًا من الأجزاء الحقيقية يتوافق مع هذه النظرية. ومع ذلك ، سرعان ما أدرك جيرولماك أنه من أجل إثبات النظرية ، كان من الضروري التعامل مع الاستثناءات من القواعد.



بعد كل شيء ، فإن نفس الهندسة تجعل من الممكن وصف العديد من أنماط الفسيفساء الأخرى ، والتي يُسمح بوجودها في بعدين وثلاثة أبعاد. يمكن لـ Djerolmak تسمية عدة أنواع من الأحجار الحقيقية على الفور ، لا تشبه المستطيلات والمكعبات ، والتي لا تزال تتناسب مع هذا التصنيف الأكثر شمولاً.



ربما تدحض هذه الأمثلة تمامًا نظرية العالم المكعب. أو ربما الأكثر إثارة للاهتمام أنها لن تظهر إلا في المناسبات الخاصة التي يمكن للجيولوجيين تعلم دروس جديدة منها. قال جيرولماك: "قلت إنني أعلم أنها لا تعمل في كل مكان ، وأريد أن أعرف السبب".



على مدى السنوات القليلة التالية ، بدأ جيرولماك وفريقه ، الذين يعملون على جانبي المحيط الأطلسي ، في تحديد المكان الذي سقطت فيه أمثلة حقيقية من قطع الحجارة على منصة دوموكوش. بفحص الأسطح ثنائية الأبعاد بشكل أساسي - التربة الصقيعية المتشققة في ألاسكا ، نتوءات الدولوميت ، الشقوق في كتلة الجرانيت - وجدوا مضلعات ، في المتوسط ​​، لها أربعة جوانب وأربعة رؤوس ، تمامًا مثل الورق المقطوع. يبدو أن كل من هذه الظواهر الجيولوجية تعبر عن نفسها حيث تتشقق الصخور ببساطة. في هذا المجال ، تحققت تنبؤات Domokosh.





الكون من البلاط. يمكن رسم كل المربعات المحدبة المحتملة التي تغطي المستوى بالكامل مقابل متوسط ​​عدد رؤوس التجانب (المحور ص) ومتوسط ​​عدد الخلايا التي تقسم رأسًا واحدًا (المحور السيني). أمثلة من العالم الحقيقي:

6 - رصف العمالقة ، 7- التربة الصقيعية في ألاسكا ، 8 - الطين الجاف ، 9 - سطح الجرانيت.



ولكن كان هناك نوع واحد من الأسطح المستوية التي ترقى إلى مستوى آمال جيرولماك: كان استثناءً بتاريخه الخاص. تجف الأسطح المسطحة المغطاة بالأوساخ وتتشقق وتتشقق وتتشقق مرة أخرى. تحتوي الخلايا الموجودة على هذه الأسطح ، في المتوسط ​​، على ستة جوانب وستة رؤوس - مخطط فورونوي سداسي الشكل تقريبًا. مظهر مشابه له سطح صخري ظهر بعد تصلب الحمم البركانية ، والتي تصلب من السطح إلى الأسفل.



ومن المثير للاهتمام ، أن مثل هذه الأنظمة التي تشكلت تحت تأثير قوى أخرى هي التي تضغط عليها بدلاً من دفعها للداخل. تكشف الهندسة عن السمات الجيولوجية. يعتقد جيرولماك ودوموكوش أن مثل هذا الرسم البياني فورونوي ، وإن كان نادرًا جدًا ، يمكن أن يظهر أيضًا على نطاق أكبر بكثير مما درسوه سابقًا.





يقسم مخطط فورونوي الطائرة إلى أقسام منفصلة ، يتكون كل منها من جميع النقاط الأقرب إلى نقطة البداية.

عد القشرة

أثناء التطوير ، التقى الفريق في بودابست وأمضى ثلاثة أيام محمومة في محاولة محموم لتضمين المزيد من أمثلة الحياة الواقعية في النموذج. وسرعان ما طرح جيرولماك نمطًا جديدًا على شاشة الكمبيوتر: فسيفساء من الصفائح التكتونية للأرض. تقع الصفائح على الغلاف الصخري ، وهو جلد ثنائي الأبعاد تقريبًا على سطح الكوكب. بدا النمط مألوفًا ، ودعا جيرولماك الآخرين للإعجاب به. قال: "لقد صدمنا جميعًا".



للوهلة الأولى ، يبدو أن الرسومات المستوية تميل إلى مخطط فورونوي وليس الشبكة المربعة. ثم قام الفريق بإجراء الحسابات. في فسيفساء فورونوي المثالية من السداسيات على مستوى ، يجب أن تحتوي كل خلية على ستة رؤوس. كان للصفائح التكتونية الحقيقية متوسط ​​5.77 قمة.



في هذه المرحلة ، كان بإمكان الجيوفيزيائي بالفعل الاحتفال بالنصر. لكن الرياضيات لم تكن مناسبة. "كان مزاج دوج يرتفع. قال Domokosh كان يعمل كما لو كان عاديا. "وفي اليوم التالي شعرت بالضيق لأنني كنت أفكر في هذا الانفصال."



في المساء ، عاد دوموكوش إلى المنزل ، ولا يزال هذا الاختلاف يلتهمه. كتب كل الأرقام مرة أخرى. وفجأة نزل عليه وحي. الفسيفساء السداسية يمكن أن تمهد الطائرة. لكن الأرض ليست مسطحة - على الأقل خارج بعض الزوايا المثيرة للجدل على YouTube. تخيل كرة قدم مكونة من خماسيات وسداسيات. عالج Domokosh البيانات مع الأخذ في الاعتبار السطح الكروي ووجد أنه على الكرة ، يجب أن يكون لخلايا Voronoi الفسيفسائية متوسط ​​5.77 قمة.



ساعدت هذه الفكرة الباحثين في حل أحد الأسئلة المهمة والمفتوحة في الجيوفيزياء: كيف تتشكل الصفائح التكتونية للأرض؟ يعتقد البعض أن هذه الصفائح هي نتيجة ثانوية لتيارات الحمل التي تتحرك في عمق الوشاح. يعتقد خصومهم أن قشرة الأرض هي نظام منفصل. توسعت ، وأصبحت هشة ومكسرة. قال جيرولماك إن مطابقة الألواح مع مخطط فورونوي ، الذي يشبه القشرة الطينية ، قد يدعم النظرية الثانية. قال عتال: "لقد أعطاني هذا أيضًا إحساسًا بمدى أهمية هذه الوظيفة". "ظاهرة".

اللحظة الحاسمة

في الأبعاد الثلاثة ، كانت هناك استثناءات قليلة لقاعدة المكعب. ويمكن تفسيرها أيضًا بمحاكاة قوى غير عادية تدفع إلى الخارج. يوجد أحد التشكيلات غير المكعبة بشكل واضح على ساحل أيرلندا الشمالية ، حيث تصطدم الأمواج بعشرات الآلاف من أعمدة البازلت. يطلق عليه في الأيرلندية Clochán na bhFomhórach ، وهو طريق من الحجارة للكائنات الخارقة للطبيعة. في اللغة الإنجليزية يطلق عليه " جسر العمالقة ".



من المهم أن تكون هذه الأعمدة والتكوينات البركانية المماثلة سداسية. ومع ذلك ، بناءً على محاكاة Tyrok ، فإن الفسيفساء المشابهة لهذا الرصيف هي ببساطة هياكل ثلاثية الأبعاد نشأت من القاعدة ثنائية الأبعاد لمخططات فورونوي بعد تبريد الصخور البركانية.





جسر العمالقة في أيرلندا الشمالية



يجادل الفريق بأنه إذا التقطت الصورة الكبيرة ، فيمكن تصنيف معظم فسيفساء الحجر المتصدع باستخدام مستطيلات أفلاطونية ومخططات فورونوي ثنائية الأبعاد وكلها معًا - مكعبات أفلاطونية في ثلاثة أبعاد. يمكن لكل نمط أن يروي قصته الجيولوجية. ونعم ، بالنظر إلى بعض الخصائص المميزة ، يمكننا القول أن العالم مكون من مكعبات.



قالت مارثا كاري إيبس ، المتخصصة في العلوم بجامعة نورث كارولينا: "لقد تحققوا على النحو الواجب من صحة نموذجهم مقابل الواقع" . "لقد تلاشت شكوكي الأولية".



قال فوربيش: "تخبرنا الرياضيات أننا إذا سحقنا الصخور ، أيًا كان ما نريده ، عن طريق الصدفة أو عن قصد ، فلا يزال لدينا مجموعة محدودة من الخيارات". "أليس هذا ذكيًا؟"



ربما يمكنك أن تأخذ ، على سبيل المثال ، مكانًا حقيقيًا يتكون من صخور متصدعة ، وعد الرؤوس والوجوه ، ثم استخلاص استنتاج حول العمليات الجيولوجية التي كانت تجري هناك.



قال رومان ديباياس ، عالم الجيومورفولوجيا في جامعة ولاية بنسلفانيا: "بالنسبة لبعض الأماكن ، لدينا بيانات تسمح لنا بالنظر إلى هذا السؤال من هذه الزاوية" . "سيكون رائعًا لو استطعنا استخلاص استنتاجات من أشياء غير واضحة ، مثل رصيف العمالقة - فقط ضرب حجر بمطرقة ورؤية كيف تبدو القطع."



جيرولماك ، الذي اعتقد في البداية أن العلاقة مع المواد الصلبة الأفلاطونية يمكن أن تكون عرضية ، قبل الآن هذه الفرضية. بعد كل شيء ، في النهاية ، اعتقد الفيلسوف اليوناني أن الأشكال الهندسية الصحيحة ضرورية لمعرفة الكون ، على الرغم من أنها نفسها غير مرئية للعين ، ولا تظهر إلا في شكل ظلال مشوهة.



"هذا حرفياً هو أوضح مثال يمكنك التفكير فيه. قال جيرولماك إن المتوسط ​​الإحصائي لكل هذه الملاحظات هو مكعب. "ولكن لا يمكن العثور على مثل هذا المكعب."