أحداث فورييه: تستخدم في مهام العمل ، التنبؤ ، تحليل التدفق النقدي

إن استخدام الأساليب المتعلقة بتحويل فورييه المنفصل في الأعمال التجارية ينطوي على إمكانات كبيرة. من العوامل التي تحد من تحقيق هذه الإمكانات وجود حاجز كبير للدخول المنهجي.



المحور الرئيسي للعمل:

• متطلبات البيانات لتقريب فورييه الصحيح للسلاسل الزمنية ؛
• صحة التوقعات من التوقعات ؛
• مجموعة صغيرة من التوافقيات كافية لتقريب سلسلة معقدة ؛
• ما هو حدث فورييه؟
• كيف وكيف يمكن أن تساعد أحداث فورييه الأعمال ؛
• أحداث فورييه في تحليل التدفق النقدي.

انستغرام

1. التنبؤ

تم تعيين المهمة بواسطة ناقل بحري كبير والتنبؤات المعنية بأسعار الشحن حسب أنواع السفن. كان لدى الناقل سلسلة من الاشتراكات في تنبؤات الشركات التحليلية الدولية ، لكن جودة التوقعات لم تناسبه. استخدمت شركات المحللين الانحدار المتعدد ، ولديها إحصاءات طويلة المدى ، وزادت أبعاد نماذجها باستمرار. في الوقت نفسه ، اعترفوا هم أنفسهم بنسبة كبيرة إلى حد ما من الأخطاء في توقعاتهم.



كان معيار تقييم نجاح التوقعات الجديدة على النحو التالي: تم تقديم جزء من البيانات التاريخية ، وتم تكوين التنبؤ وحساب دقة التنبؤ بالمستقبل المنجز بالفعل. أصبحت الاحداث على الفور مشكلة منهجية واضحة. إذا لم تبيع الولايات المتحدة النفط على الإطلاق حتى عام 2017 ، ثم أصبحت على الفور رائدة ، فكيف يمكن أن يؤثر ذلك على الاستنتاجات بناءً على البيانات التاريخية. أحداث أخرى: الحروب والأزمات - من وجهة نظر التوقعات ، هي في الأساس نفس الأحداث ، لكن الوضع مع صادرات النفط من الولايات المتحدة هو دلالة للغاية من أجل استبعاد عامل الحدث في منهجية التنبؤ (الأوزان تنتج الخطية ، والأحداث تنتج فجوة والتفرد) ...



تم تجربة العديد من الطرق. كان الأكثر إثارة للاهتمام هو تقريب سلسلة فورييه (تقريب فورييه) للسلاسل الزمنية ودراستها من وجهة نظر التنبؤ للأعمال. في الوقت نفسه ، كانت هناك مشكلة فنية - طوال الوقت كان هناك تحول في التقريب من السلسلة الأصلية.

2. تكوين البيانات لتحويل فورييه

تفسيرات أولية ضرورية.



يتم تطبيق تحويل فورييه المنفصل على المتجهات التي تتكون من قيم حقيقية. إذا تم عرض سلسلة زمنية على أنها مجموعة من نقاط <القيمة الزمنية> ، فسيتم تطبيق تحويل فورييه على متجه من سلسلة من قيم السلاسل الزمنية.



هناك بعض التفاصيل الدقيقة لاستخدام تحويل فورييه ، والتي ترتبط بعدد القيم وخصائص الفجوات بينهما. على سبيل المثال ، قد تحتوي السلسلة الزمنية الأصلية على فترات زمنية غير متساوية أو قيم مفقودة لمواضع زمنية معينة (عطلات نهاية الأسبوع والعطلات).



في كثير من الحالات ، يكون الإجراء التالي مفيدًا. يتم استيفاء السلسلة الزمنية الأصلية أولاً ، ثم يتم أخذ العدد المطلوب من القيم في المواضع الزمنية المرغوبة من الدالة المقحمة. وبالتالي ، يتم استبدال السلسلة الزمنية الأصلية بسلسلة منتظمة أكثر تكرارًا مع العدد المطلوب من القيم المحرف.



التالي هو النهج الذي وصفه أ. ديكمان.



تحويل فورييه المنفصل.



يتم تحويل متجه القيم الحقيقية u = u [r] إلى متجه للقيم المعقدة f [s] باستخدام الصيغة التالية (هناك عدة صيغ لـ F [s ، r] التي تعطي نتائج مكافئة): f [s] = u [r] *





تختلف F [s ، r] ، حيث ، وقيم s ، r من 1 إلى n.



البيانات اللازمة للحصول على طيف فورييه.



يمكن تفسير المتجه f [s] الناتج على أنه طيف فورييه ، لأنه يحتوي على معلومات حول السعات والترددات ومراحل التوافقيات الأساسية.



علاوة على ذلك ، هناك متطلبات لك [ص]. يجب تحديد قيم u [r] عند نقاط الانقسام في الفاصل الزمني عندما يكون للفاصل طول عدد صحيح من الخطوات من نفس الحجم. تتوافق قيمة r مع الموضع (الفهرس) في المتجه. بشكل عام ، تحدد r موقعًا في الوقت (سلسلة زمنية) أو مكانًا (في أبعاد أخرى).



لنفترض أنه يجب تحديد المتجه u [r] على الفاصل الزمني [tMin، tMax] ، والذي يكون طوله tt = (tMax-tMin). دع دلتا = tt / n تتوافق مع المسافة بين النقاط المتجاورة في الفترة الزمنية ، والتي يتم فيها حساب u [r].



دعونا نفكر في العملية التي يجب أن تتم تقنيًا.



يمكن تفسير الأس المركب في المصفوفة F [s ، r] على أنه مسبار متجه (يعتمد على s) يدور في المستوى المركب بتردد (s-1) / tt ويتحرك بالتتابع (في الزمان أو المكان) على طول (r- 1) * tt / ن. أثناء ضرب المصفوفة ، يتم ضرب متجه المسبار المقابل لـ r في u [r] المحدد ، ويتم حساب مجموع المتجه على كل r ، مع إعطاء العدد المركب f (s). وهكذا تتكرر مع كل s من 1 إلى n. تشير كل f [s] إلى وجود أو عدم وجود مكون يتأرجح عند التردد المرتبط بـ s.



كيف يجب أن تتشكل u [r]؟



في هذه المرحلة ، يجب استيفاء السلسلة الزمنية الأصلية وتعيينها إلى الفاصل الزمني المحدد ، وهو مضاعف لعدد صحيح من الخطوات. يتم اختيار عدد كافٍ من النقاط لتقريب دقيق تجريبيًا.



في هذه المرحلة ، الشيء الرئيسي هو عدد النقاط التي يجب أخذها وأي منها. قيمة n ثابتة في دلتا. في هذه الحالة ، لدينا مجموعة من n + 1 نقطة لجميع قيم قسم الفاصل الزمني.



في u = u [r] من الضروري تضمين النقاط فقط من الأول إلى ما قبل الأخير ، ولكن ليس الأخير: فقط n.



خلاف ذلك ، سيتم إزاحة تقريب فورييه قليلاً بالنسبة للسلسلة الزمنية الأصلية.

3. التفسير البصري لتحولات فورييه

من أجل الاستخدام الواسع لتحويل فورييه في الممارسة العملية ، من الضروري الشعور بما يقدمه بالإضافة إلى الصيغ المعقدة ، وتشكيل البيانات الأولية بشكل صحيح.



ضع في اعتبارك كيف يعمل تحويل فورييه على وظيفة جيبية. للقيام بذلك ، من المفيد الجمع في رسم بياني واحد لسلوك الوظيفة والخصائص التي يعطيها تحويل فورييه في نقاط محددة وبشكل عام في الوظيفة قيد الدراسة.



ضع في اعتبارك الوظيفة 1 + Sin [2πx] في المقطع [0، π].







يتوافق اتساع هذه الوظيفة مع 1 هرتز ، لأنها تكرر حركتها بعد 2 π.

لنفترض أن n = 20 ، ثم عند تقسيم الفاصل الزمني إلى أجزاء متساوية ، يمكنك الحصول على 21 قيمة في النقاط المقابلة للانقسام. ولكن ، باتباع الشرح أعلاه ، سنعمل بـ 20 نقطة فقط - بدون النقطة الأخيرة (الأسود فقط في الصورة أعلاه).



تتقدم المعلمة r على طول الإحداثي ولها 20 قيمة. تحدد المعلمة s السرعة بـ (s-1) هرتز.



توضح الأشكال التالية دوران ناقل المسبار. يبدأ كل مجس متجه من النقطة u [r] ، والتي يتم حساب القيمة F [s ، r] لها. يتم الحصول على معلمات نهاية متجه المسبار على النحو التالي: الإحداثي هو المنتج u [r] * Re [F [s، r]] ، الإحداثي هو u [r] * Im [F [s، r]].



من أجل الوضوح ، تم تحديد لوحة من ناقلات المجس المتحرك من البداية إلى النهاية. يبدأ من اللون البني ، ثم من الأخضر إلى الأزرق:







توضح الأشكال أدناه دوران متجه المسبار مخفضًا إلى النقطة على الرسم البياني التي تم حساب تحويل فورييه ، وكذلك المسار (مجموع المتجه) عندما تكون نواقل المسبار المجاورة متجاورة مباشرة.







يعرض المحور الإحداثي سعة الوظيفة الأصلية والجزء التخيلي من تحويل فورييه.

محور الإحداثي هو موضع النقطة على الفترات الزمنية للوظيفة الأصلية والجزء الحقيقي من تحويل فورييه.







يوضح مجموع المتجهات تكوين حركة متجهات المسبار. تشير النقطة السوداء إلى بداية الحركة ونهاية الحركة (نقطة سوداء أخرى إذا لم تتطابق). بالنسبة إلى s = 3 ، تكون البداية والنهاية متطابقتين. بالنسبة إلى s = 1 و s = 2 ، لا تتطابق البداية مع النهاية.







يتم عرض إحداثيات البداية والنهاية بشكل منفصل ، بالإضافة إلى القيم المقربة (قريبة جدًا من الصفر).







قيمة s تميز التردد المختبَر.







هناك تناسق في السلوك.

المركز s = 11.







للحصول على مثال على التناظر ، دعنا نعرض الأرقام الخاصة بـ s = 19 و s = 20 ، وهي متماثلة مع s = 3 و s = 2.







ماذا يحدث إذا لم تحصل على 20 نقطة ، بل 21 نقطة ، بما في ذلك النقطة الأخيرة. مثال لـ s = 3. يُظهر وجود مكون يتأرجح بتردد مرتبط بـ s = 3 ، بينما لا توجد مثل هذه التذبذبات في الوظيفة الأصلية. لا يوجد سوى تذبذب 1 هرتز في الوظيفة الأصلية.







تهدف جميع المخططات المذكورة أعلاه إلى إظهار أهمية تقسيم الفترات الزمنية وبيانات أخذ العينات بشكل صحيح لهذه الفترات دون القيمة الأخيرة. فقط في هذه الحالة سيكون هناك تقريب فورييه الصحيح للسلسلة الأصلية وإمكانية استمرارها الدوري.



يتم تقديم بقية جوانب تقريب فورييه بشكل كامل في الأدبيات المرجعية.

4. تحليل السلاسل الزمنية الحقيقية

دعنا نعود إلى المهمة التي تم وصفها في البداية.



فيما يلي تقدير فورييه للبيانات التاريخية عن أسعار الشحن للشحن.



في كل صورة في الكتلة الأولى على اليسار ، يوجد رسم بياني يوضح مستوى قيم الاتساع (الخط الأحمر المنقط) المقطوعة التي تقدم مساهمة غير مهمة. تُظهر الكتلة الأولى على اليمين خصائص التوافقيات العشر الأولى من السلسلة التقريبية في السعة المتناقصة.



تتكون الكتلة الثانية من المؤامرات مع زيادة عدد التوافقيات (بالترتيب من أكبر سعة) المستخدمة للتقريب. نتيجة التقريب هي خط أحمر منقط.



لسلسلة زمنية معينة ، 5 توافقيات كافية.







بالنسبة لهذه السلسلة الزمنية ، يمكننا تقييد أنفسنا بـ 5 توافقيات ، إن لم يكن اعتبار البيانات القديمة مهمة للغاية.







يتم تقريب هذه السلسلة الزمنية بشكل جيد من خلال التوافقيات الثامنة.







في هذه الحالة ، من المستحسن أن تأخذ في الاعتبار 11 توافقيات.







وبالتالي ، يمكن تقريب البيانات التاريخية في مجال نشاط ديناميكي إلى حد ما (أسعار السفن للنقل البحري) بشكل جيد بمتوسط ​​10 توافقيات.



بشكل عام ، يمكن اعتبار مشكلة التنبؤ ، عندما يتم استعادة المستقبل الموجود بالفعل من جزء من البيانات التاريخية مع بعض الأخطاء ، تم حلها إذا كانت التوافقيات الأساسية (بعضها) للتقريب معروفة.



في الوقت نفسه ، من الواضح أن التنبؤ بالمستقبل الذي سيعرضه تقريب فورييه سيكون في الواقع خاطئًا تمامًا: يصبح هذا واضحًا بسبب الآلية الشفافة لبناء تقريب فورييه.



مع الانحدار المتعدد ، عندما نتحدث عن 70٪ من موثوقية التوقعات ، فإن كل شيء هو نفسه ، لكن آلية البناء غير الشفافة تسمح لنا بشكل غير معقول أن نأمل ، بشكل عام (70٪) ، أن تكون التوقعات صحيحة.

5. أحداث فورييه

تظهر أحداث فورييه على افتراض أن العمليات الدورية الأساسية (التوافقيات) تحدث ، والتي يتم فرضها ودمجها مع أحداث مهمة ، ممثلة أيضًا بالتوافقيات.



وهكذا ، تنقسم جميع توافقيات تقريب فورييه إلى جزأين: التوافقيات الأساسية للعملية وتوافقيات الأحداث. من المهم أن تتذكر أن مجموع التوافقيات الأساسية وتوافقيات الحدث يعطي تقريبًا كافيًا للسلسلة الأصلية.



في هذه الحالة ، للحصول على توقع جيد ، يكفي معرفة الدورات الأساسية ولديك قائمة بالأحداث والظروف ، والتي بموجبها يجب تكوين توقعات متجددة بناءً على الأحداث المتوقعة أو التي حدثت بالفعل أو سلاسلها. لكن هذه تقنية مختلفة قليلاً وليست تقليدية للتنبؤ.



الطريقتان التاليتان لإصلاح أحداث فورييه مبررة من الناحية المنهجية.



ترتبط الطريقة الأولى بالطرح من السلسلة الزمنية الكاملة لجميع التوليفات الممكنة من التوافقيات التي تقاربها ، ومقارنة الأحداث المعروفة بالانحرافات القصوى أو المستقرة الناتجة. نظرًا لأن جميع الصناعات تقريبًا لديها شركات تحليلية تجمع الإحصائيات وتراجع الاتجاهات (في بعض الصناعات حتى أسبوعيًا) ، فإن العثور على أحداث مهمة في موعد ما ليس مشكلة صعبة بدرجة كافية.



الطريقة الثانية ، دعنا نطلق عليها طريقة التقسيم ، ترتبط بتقسيم السلاسل الزمنية الكاملة إلى فترات ذات أطوال مختلفة والبحث عن فترات "متشابهة" بواسطة توافقيات مماثلة. مع النهج الموصوف لتقريب فورييه ، يمكن أن تكون هذه المهمة مؤتمتة بالكامل.



تختلف طريقة التقسيم نوعياً عن الطريقة الأولى ، حيث توجد عملية أولية ، وهي غير خطية لكامل الانقسام ، لفصل اتجاهها (الانحدار الخطي) عن كل مكون من مكونات الانقسام المحدد.

6. تحليلات البيانات لأسعار النفط من خلال أحداث فورييه

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أسعار النفط في أوروبا السعر الفوري برنت FOB. المصدر: طومسون رويترز. إدارة معلومات الطاقة الأمريكية. طومسون رويترز. البيانات متوفرة يوميًا بالدولار الأمريكي من 20 مايو 1987 إلى 10 نوفمبر 2020.



السلسلة الزمنية الأصلية.







نختار الاتجاه - الانحدار الخطي.







نقوم بمسح البيانات الأولية من الاتجاه (يمكن دائمًا استعادة الاتجاه الخطي).







الرسم البياني الأزرق - البيانات الأولية. الأسود هو الاتجاه. البرتقالي - بيانات طبيعية (بدون اتجاه).



ابحث عن تقريب.



حتى الآن ، كل شيء ليس جيدًا: التوافقيات الثامنة والعشرون لمثل هذه السلسلة ستكون صغيرة.







بالنسبة لـ 30 التوافقيات ، تكون النتيجة مقبولة تمامًا.







دعنا ننتقل إلى طريقة عزل أحداث فورييه. دعونا نوضح أحد الأساليب في حالة تقريب السلسلة الأصلية بواسطة التوافقيات الثامنة.



أوجد كل التوليفات الممكنة من 8 توافقيات. سيكون هناك 255 منهم. لكل مجموعة من 255 مجموعة ، سنقوم بحساب القيمة المطلقة من فرق النقاط بين الصف الأصلي والهيكل (الصف) الناتج عن مجموعة محددة من التوافقيات.



بالنسبة لسلسلة جديدة ، نحسب الحد الأقصى والانحراف المعياري والمبلغ الإجمالي للقيم (من الممكن أن المؤشرات الأخرى تحتاج إلى حساب: المتوسط ​​، إلخ).



تظهر الأرقام هذه المؤشرات بالتسلسل. إنها تتوافق مع أول مائة قيمة ، مرتبة بالترتيب التنازلي للحد الأقصى.







لنأخذ أول 60 من الـ 100 المختارة بعين الاعتبار. وبعد ذلك سنختار (بصريًا) أشياء مثيرة للاهتمام. تظهر الرسوم البيانية أدناه. الرقم الموجود أسفل الصورة يتوافق مع الرقم الترتيبي لمجموعة 255. الرسم البياني الرمادي هو الصف الأصلي ، والصف الأحمر من مجموعة التوافقيات.



ما يعتبر "مثيرًا للاهتمام" هو مهمة ذات مغزى لنشاط تجاري. كل ما كان هناك حتى الآن هو مجرد أسلوب قياسي.



ماذا حدث في النهاية؟ من بين مجموعة من التوافقيات التي تقارب السلسلة الأصلية جيدًا ، اخترنا مجموعات تتوافق جيدًا في بعض المناطق مع السلاسل الزمنية الأصلية ، وفي مناطق أخرى تظهر تباينًا واضحًا. إنها آخر المواقع المرشحة لتحليل الأحداث التي وقعت خلال هذه الفترة (جميع الرسوم البيانية يومية مع تاريخ محدد).



بالإضافة إلى ذلك ، فإن وجود مناطق متجاورة جيدًا من الرسوم البيانية يوفر أساسًا لاشتقاق خصائص "المعيار" لديناميكيات العمليات المنعكسة.



الهدف من التحليل هو تحديد التوافقيات التي تتوافق مع الأحداث. المشكلة العكسية هي اختيار العمليات الدورية الأساسية.



تعتبر طريقة التقسيم مهمة لأن العملية التي تمثلها سلسلة زمنية واحدة يمكن أن تكون مركبة بشكل أساسي وتعتمد على أحداث ذات ترتيب أعلى: أزمة عالمية ، إلخ.

7. أحداث فورييه في تحليل التدفق النقدي

ترتبط عملية تحليل السلاسل الزمنية بتوقع أن العمليات الدورية تهيمن عليها. بشكل عام ، قد لا تتحقق هذه التوقعات. النقطة المهمة ليست حتى أنه لا يوجد مثل هذه الهيمنة للدورة. ببساطة بسبب الطريقة الخاصة التي تتكون بها السلسلة الزمنية ، قد لا يكون من الممكن تحديد التقلبات الدورية في تلك السلسلة المحددة.



التدفق النقدي هو أمر آخر. في واقع الأمر ، فإن الأنشطة الإنتاجية والتجارية ، فإن معظم العمليات تكون دورية في البداية بالطريقة التي تتشكل بها. ترتبط الانحرافات عن القاعدة بالأحداث التي تعطل هذه الدورية. إن استخدام طريقة حدث فورييه في تحليل التدفق النقدي يجعل من الممكن تحديد "معيار" موضوعي ، بالإضافة إلى مؤشرات الانحرافات.



فيما يتعلق بأحداث فورييه ، تعتبر مشكلة تحليل التدفق النقدي خوارزمية جيدة لتطبيق أساليب الذكاء الاصطناعي والشبكات العصبية (التعلم الآلي).