بدأ هذا الأسبوع (16-26 سبتمبر) في سانت بطرسبرغ (تقريبًا) أولمبياد الرياضيات الدولي الحادي والستين ، حيث شارك فيه 622 تلميذًا من 114 دولة.
أقيم أول أولمبياد من هذا النوع في عام 1959 في رومانيا ، ثم شارك فيه ممثلو سبع دول فقط.
يمثل روسيا فريق من ستة طلاب ثانوية.
يُمنح تلاميذ المدارس يومين من 4.5 ساعات لحل 6 مشاكل. أثناء تقييم النتائج ، أقترح عليك محاولة حل المشكلات ومناقشتها في التعليقات.
نتائج السنوات الماضية.
المشكلة 1
داخل الشكل الرباعي المحدب ABCD ، توجد نقطة P مثل أن المساواة
∠PAD: PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: BPC عقد.
اثبت أن الخطوط الثلاثة المستقيمة التالية تتقاطع عند نقطة واحدة: المنصفات الداخلية للزوايا ∠ADP و ∠PCB ونقطة المنتصف المتعامدة على القطعة AB.
المشكلة 2
بالنظر إلى الأعداد الحقيقية أ ، ب ، ج ، د مثل أ> ب> ج> د> 0 و أ + ب + ج + د = 1.
أثبت أن
(أ + 2 ب + 3 ج + 4 د) أ أ ب ب ج ج د د <1.
مشكلة 3
هناك 4N الحصى مع الجماهير 1، 2، 3، ...، 4N . كل من الحصى هي التي رسمت في واحدة من ن الألوان، وهناك 4 الحصى من كل لون.
إثبات إمكانية تقسيم الحصى إلى مجموعتين متساويتين في الوزن الإجمالي بحيث تحتوي كل كومة على حصتين من كل لون.
المشكلة 4
عدد صحيح ن> 1 معطى . هناك ن 2 محطات سكة حديد معلقة على منحدر جبلي على ارتفاعات مختلفة. تمتلك كل من شركتي القطار الجبلي المائل A و B مصاعد k . يقوم كل مصعد بنقل مباشر منتظم من إحدى المحطات إلى محطة أخرى أعلى. تبدأ تحويلات k للشركة A في k محطات مختلفة ؛ وتنتهي أيضًا عند k محطات مختلفة ؛ بنقل يبدأ أعلاه وينتهي أعلاه. تم استيفاء نفس الشروط للشركة "ب". سنقول أن محطتين متصلتينشركة القطار الجبلي المائل ، إذا كان بإمكانك الانتقال من المحطة السفلية إلى الأعلى باستخدام عملية نقل واحدة أو أكثر لهذه الشركة (يُحظر التنقل بين المحطات الأخرى). ابحث عن أصغر k معروف بوجود محطتين متصلتين من كلا الشركتين.
المشكلة 5
يوجد n> 1 بطاقات ، كل منها يحتوي على عدد صحيح موجب.
اتضح أن المتوسط الحسابي للأرقام المكتوبة عليهما لأي بطاقتين يساوي المتوسط الهندسي للأرقام المكتوبة على بطاقات مجموعة معينة تتكون من بطاقة واحدة أو أكثر. لأي ن يتبع أن جميع الأرقام المكتوبة على البطاقات متساوية؟
المشكلة 6
إثبات وجود ثابت موجب c يحمل العبارة التالية:
دع S مجموعة من n> 1 نقطة من المستوى حيث تكون المسافة بين أي نقطتين على الأقل 1. ثم هناك خط ℓ يفصل المجموعة S بحيث تكون المسافة من أي النقاط S إلى هي على الأقل cn −1/3 .
(الخط المستقيم ℓ يفصل بين مجموعة النقاط S إذا تقاطع مع بعض الأجزاء التي تنتمي نهاياتها إلى S.)
ملاحظة. يمكن تقدير النتائج الأضعف مع استبدال cn −1/3 بـ cn −α اعتمادًا على قيمة الثابت α> 1/3 .