فتح علماء الرياضيات جبهة جديدة في المعركة مع مشكلة الأعداد القديمة

منذ آلاف السنين ، اهتم علماء الرياضيات بمسألة وجود الأعداد المثالية الفردية. أثناء دراستها ، قاموا بتجميع قائمة لا تصدق من القيود المفروضة على هذه الكائنات الافتراضية. لكن قد تظهر أفكار جديدة حول هذه النتيجة بسبب دراسة الكائنات الأخرى القريبة منهم.

إذا وجدت أرقام مثالية فردية ، فسيتعين عليهم تلبية قائمة طويلة من القيود السخيفة.



كطالب في المدرسة الثانوية ، واجه Pace Nielsen سؤالًا في الرياضيات في منتصف التسعينيات لا يزال يعاني منه حتى يومنا هذا. لكنه لم ينزعج: المشكلة التي فتنته ، فرضية الأعداد المثالية الفردية ، ظلت مفتوحة لأكثر من 2000 عام ، مما يجعلها واحدة من أقدم المشكلات التي لم يتم حلها في الرياضيات.



يأتي جزء من هذا السحر طويل الأمد من بساطة الصياغة. يُطلق على الرقم اسم مثالي إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا ، n ، وتجمع قواسمه ضعف الرقم ، 2n. المثال الأول والأبسط هو 6 ، حيث تضيف قواسمها 1 و 2 و 3 و 6 ما يصل إلى 12 أو 2 * 6. ثم يأتي 28 ، مع قواسم 1 و 2 و 4 و 7 و 14 و 28 ، ليصبح المجموع 56. الأمثلة التالية هي 496 و 8128.



قام ليونارد أويلر بإضفاء الطابع الرسمي على هذا التعريف في القرن الثامن عشر من خلال إدخال دالة سيجما الخاصة به ، والتي هي مجموع مقسومات الرقم. وهكذا ، بالنسبة للأرقام المثالية ، σ (ن) = 2 ن.





صاغ ليونارد أويلر العديد من القواعد الرسمية المتعلقة بالعمل مع الأعداد المثالية



، ومع ذلك كان فيثاغورس يعرف عن الأعداد المثالية منذ عام 500 قبل الميلاد ، وبعد قرنين استخلص إقليدس صيغة للحصول على الأعداد المثالية. أظهر أنه إذا كان p و 2 ^p - 1 عددًا أوليًا (المقسوم عليهما 1 فقط وهذا الرقم نفسه) ، فإن 2 ^{ص - 1} * (2 ^ص - 1) سيكون عددًا مثاليًا. على سبيل المثال ، إذا كانت p = 2 ، فإن الصيغة تعطي 2 ¹ * (2 ^2-1 ) ، أو 6. إذا كانت p = 3 ، فإن الصيغة تعطي 2 ² * (2^3-1 ) ، أو 28 - أول رقمين كاملين. بعد 2000 عام ، أثبت أويلر أن هذه الصيغة تعطي جميع الأعداد المثالية ، على الرغم من أنه لا يزال من غير المعروف ما إذا كانت مجموعة الأعداد المثالية محدودة أم لا نهائية.



نيلسن ، وهو الآن أستاذ في جامعة بريغهام يونغ ، انجرف بسؤال ذي صلة: هل توجد أرقام كاملة فردية؟ عالم الرياضيات اليوناني نيكوماخوس من جراسا حوالي 100 م ذكر أن جميع الأعداد المثالية يجب أن تكون متساوية ، لكن لم يثبت أحد هذه العبارة.



مثل العديد من زملائه في القرن الحادي والعشرين ، يعتقد نيلسن أنه لا يوجد عدد كبير جدًا من الأعداد المثالية. وهو يعتقد معهم أنه لن يتم الحصول على دليل على هذه الفرضية قريبًا. ومع ذلك ، في يونيو صادفإلى نهج جديد لهذه المهمة ، ربما يكون قادرًا على المضي قدمًا فيها. وهو مرتبط بالجسم الأقرب إلى الأعداد المثالية الفردية من جميع المكتشفات حتى الآن.

تقلص الويب

تعلم نيلسن لأول مرة عن الأرقام المثالية في مسابقة الرياضيات في المدرسة. تعمق في الأدب ، وعثر على أعمال عام 1974 لكارل بوميرانز ، عالم رياضيات يعمل الآن في كلية دارتموث. لقد أثبت أن أي عدد مثالي فردي يجب أن يحتوي على الأقل على سبعة عوامل أولية مختلفة.



قال نيلسن: "لقد قررت بسذاجتي أنه يمكنني القيام بشيء ما في هذا المجال ، إذا كان التقدم ممكنًا على الإطلاق". "لقد ألهمتني دراسة نظرية الأعداد في الكلية ومحاولة إحراز تقدم." وضع أول عمل له عن الأعداد الفردية المثالية ، والذي نُشر عام 2003 ، قيودًا إضافية على هذه الأرقام الافتراضية. و أظهرتليس فقط عدد الأعداد المثالية الفردية التي تحتوي على قواسم أولية مختلفة محدودة ، كما أثبت ليونارد ديكسون في عام 1913 ، ولكن أيضًا يجب ألا يتجاوز حجم هذا العدد 2 ^{4 ك} .



ولم يكن هذا هو القيد الأول ولا الأخير المفروض على الأعداد المثالية الفردية الافتراضية. على سبيل المثال ، في عام 1888 ، أثبت جيمس سيلفستر أن عددًا مثاليًا فرديًا لا يمكن القسمة على 105. في عام 1960 ، أثبت كارل ك. نورتون أنه إذا كان الرقم المثالي الفردي غير قابل للقسمة على 3 أو 5 أو 7 ، فيجب أن يحتوي على الأقل 27 العوامل الأولية. أثبت بول جنكينز في عام 2003يجب أن يكون القاسم الأولي الأكبر للعدد المثالي الفردي أكبر من 10000000. ثم وجد باسكال أوتشيم وميهول راو أن العدد المثالي الفردي يجب أن يكون أكبر من 10 ¹⁵⁰⁰ ، ثم دفعوا الحد إلى 10 ²⁰⁰⁰ . أظهر Nielsen في عام 2015 أن الرقم المثالي الفردي يجب أن يحتوي على 10 قواسم أولية مختلفة على الأقل.





بيس نيلسن ، عالم رياضيات في جامعة بريغهام يونغ



حتى في القرن التاسع عشر ، كان عدد القيود كبيرًا لدرجة أن سيلفستر خلص إلى أن "ظهور عدد مثالي فردي - نوع من الهروب من شبكة معقدة من الظروف المحيطة به من جميع الجوانب - سيكون تقريبًا معجزة." بعد أكثر من مائة عام من تطور الأحداث هذا ، يثير وجود مثل هذه الأرقام المزيد من الشكوك.



قال جون فويت ، أستاذ الرياضيات في دارتموث: "إن إثبات وجود شيء ما أمر سهل إذا كان بإمكانك العثور على مثال واحد فقط" . "لكن إثبات عدم وجود شيء ما قد يكون صعبًا للغاية".



كان النهج الرئيسي حتى الآن هو مقارنة جميع الشروط التي تحد من الأرقام المثالية الفردية من أجل معرفة ما إذا كان أي زوج منها غير متوافق - أي أنه لا يوجد رقم يمكن أن يلبي كلا التقييد في وقت واحد. قال فويت ، مرددًا ما قاله سيلفستر: "إن خليط الظروف التي حصلنا عليها حتى الآن يجعل الأرقام المثالية الفردية أمرًا مستبعدًا للغاية". "وقد قام بيس بإضافة عناصر جديدة إلى هذه القائمة لسنوات عديدة."



لسوء الحظ ، لم يتم العثور على خصائص غير متوافقة حتى الآن. لذلك ، بالإضافة إلى القيود الإضافية المفروضة على الأعداد الفردية المثالية ، ربما يحتاج علماء الرياضيات إلى استراتيجيات جديدة.



تحقيقًا لهذه الغاية ، يفكر نيلسن بالفعل في خطة هجوم جديدة تستند إلى تكتيك مشترك لعلماء الرياضيات: دراسة العديد من الأرقام من خلال دراسة أقاربهم المقربين. في حالة عدم وجود أرقام مثالية فردية مناسبة للدراسة المباشرة ، يدرس هو وفريقه "تقليد" الأرقام الفردية المثالية ، والتي تشبه إلى حد بعيد الأرقام الحقيقية ، ولكن لديها بعض الاختلافات المثيرة للاهتمام.

فهم الأعداد الصحيحة

- . σ(n) = 2n, .



:



σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .

σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .







1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .

2. σ(p^a) = 1 + p + p² + … + p^a p a.



:



σ(20) = σ(2² × 5) = σ(2²) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 2²)(1+5) [ ] = 42



σ (28) = σ (2 ² × 7) = σ (2 ² ) × σ (7) [بالقاعدة الأولى] = (1 + 2 + 2 ² ) (1 + 7) [بالقاعدة الثانية] = 56

يخطئ مغر جديد

تم العثور على التقليد الأول للعدد المثالي الفردي في عام 1638 بواسطة رينيه ديكارت - وكان من أوائل علماء الرياضيات البارزين الذين اعتبروا أن وجود الأعداد المثالية الفردية أمر ممكن. قال ويليام بانكس ، الباحث في نظرية الأعداد بجامعة ميسوري: "أعتقد أن ديكارت كان يحاول إيجاد أرقام مثالية فردية ، وقد قادته حساباته إلى التقليد الأول" . على ما يبدو ، كان ديكارت يأمل في إمكانية تغيير الرقم الذي أنشأه للحصول على رقم مثالي فردي حقيقي.



لكن قبل الغوص في التقليد الديكارتي ، من المفيد أن نفهم قليلاً كيف يصف علماء الرياضيات الأعداد المثالية. تنص نظرية إقليدس للوقت على أنه يمكن التعبير عن أي عدد صحيح أكبر من 1 كمنتج للأعداد الأولية مرفوعة إلى قوى معينة. على سبيل المثال ، يمكن تحليل 1260 إلى عوامل على النحو التالي: 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 ¹ × 7 ¹ ، وعدم سرد جميع العوامل الـ 36 بشكل منفصل.



بمجرد أن يتخذ الرقم هذا الشكل ، يصبح من الأسهل كثيرًا حساب دالة Euler sigma التي تجمع قواسمه ، وذلك بفضل صيغتين أثبتهما أويلر أيضًا. أولاً ، أوضح أن σ (أ × ب) = σ (أ) × σ (ب) إذا وفقط إذا كان أ و ب جريمة مشتركة - أي أنهما لا يوجد بينهما قواسم أولية مشتركة. على سبيل المثال ، الأرقام 14 (2 × 7) و 15 (3 × 5) أولية نسبيًا. ثانيًا ، أوضح أنه بالنسبة لأي عدد أولي p في عدد صحيح موجب ، a ، σ (p ^a ) = 1 + p + p ² +… + p ^a .



بالعودة إلى مثالنا السابق ، σ (1260) = σ (2 ² × 3 ² × 5 ¹ × 7 ¹ ) = σ (2 ² ) × σ (3 ²⁾) × σ (5 ¹ ) × σ (7 ¹ ) = (1 + 2 + 2 ² ) (1 + 3 + 3 ² ) (1 + 5) (1 + 7) = 4368. لاحظ أنه في هذا الحالة σ (n) لا تساوي 2n ، مما يعني أن 1260 ليس عددًا مثاليًا.





وجد رينيه ديكارت التقليد الأول لعدد مثالي



الآن يمكننا تحليل التقليد الديكارتي - الرقم 198585576189 ، أو 3 ² × 7 ² × 11 ² × 13 ² × 22021 ¹ . بتكرار العمليات الحسابية أعلاه ، نجد أن σ (198585576189) = σ (3 ² × 7 ² × 11 ² × 13 ² × 22.021 ¹ ) = (1 + 3 + 3² ) (1 + 7 + 7 ² ) (1 + 11 + 11 ² ) (1 + 13 + 13 ² ) (1 + 22.021 ¹ ) = 397171152378 وهذا يساوي ضعف الرقم الأصلي ، مما يعني أنه يجب أن يكون عددًا مثاليًا حقيقيًا - فقط الرقم 22021 ليس عددًا أوليًا.



لذلك ، فإن هذا العدد من ديكارت هو تقليد. إذا ادعينا أن 22،021 عدد أولي وطبقنا قواعد أويلر على دالة سيجما ، فإن رقم ديكارت يتصرف كعدد مثالي. ومع ذلك، 22 021 هو في الواقع نتاج 19 ² و61. إذا استطعنا كتابة رقم ديكارت بشكل صحيح كما 3 ² × 7 ² × 11 ² × 13 ² × 19 ² × 61 ¹، إذن σ (n) لن تساوي 2n. إضعاف بعض القواعد ، نحصل على رقم يبدو أنه يلبي متطلباتنا - وهذا هو جوهر التقليد.



استغرق الأمر 361 عامًا لاكتشاف الرقم المقلد الثاني لعدد فردي مثالي. قام فويت بهذا في عام 1999 ، ونشر الاكتشاف بعد أربع سنوات. لماذا كل هذا الوقت؟ "العثور على رقم تقليد يشبه العثور على رقم فردي مثالي ؛ كلاهما معقد حسابيًا بالمثل. ولم يكن بحثهم أولوية بالنسبة لعلماء الرياضيات. ومع ذلك ، فقد استوحى فويت من مقتطفات من ريتشارد جاي المشاكل غير المحلولة في نظرية الأعداد ، حيث كتب عن البحث عن تقليد جديد. حاول Voight ، ووجد في النهاية تقليدًا جديدًا ، 3 ⁴ × 7 ² × 11 ² × 19 ²× (127) ¹ ، أو 22 017 975 903. على



عكس مثال ديكارت ، جميع القواسم هنا أولية ، لكن أحدها سالب - لذلك هذا الرقم تقليد ، وليس عددًا مثاليًا فرديًا حقيقيًا.

محاكاة الأعداد المثالية الفردية

:



198 585 576 189, 3² × 7² × 11² × 13² × 22 021¹.



-: σ(198 585 576 189) = σ(3² × 7² × 11² × 13² × 22,021¹) = (1 + 3 + 3²)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 13 + 13²)(1 + 22,021¹) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.



22 021 , 19² × 61. .



:



−22 017 975 903, 3⁴ × 7² × 11² × 19² × (−127)¹.



-: σ(−22 017 975 903) = σ(3⁴ × 7⁴ × 11² × 19² × (-127)¹) = (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 19 + 19²)(1 + (-127)¹) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903



-127 – , – .

بعد أن عقد فويت ندوة في جامعة بريغهام يونغ في ديسمبر 2016 ، ناقش هذا الرقم مع نيلسن وجينكينز وآخرين. بعد ذلك بوقت قصير ، شرع فريق الجامعة في بحث حسابي منهجي عن تقليد آخر. سيختارون أصغر القواعد والأسس ، مثل 3 ² ، ثم تمشيط أجهزة الكمبيوتر من خلال متغيرات من القواعد والدرجات الإضافية التي من شأنها أن تعطي تقليدًا للعدد المثالي. قرر نيلسن أن هذا المشروع سيكون ببساطة تجربة بحثية محفزة لطلابه ، لكن نتائج التحليل فاقت توقعاته.

غربلة الاحتمالات

بعد تشغيل 20 معالجا بشكل مستمر لمدة ثلاث سنوات ، اكتشف الفريق كل تقليد محتمل لعدد مثالي يمكن كتابته باستخدام ستة قواعد أو أقل - 21 في المجموع ، بما في ذلك أمثلة من ديكارت وفويت - واثنتين من عمليات المحاكاة مع سبعة قواسم. كان البحث عن عمليات محاكاة بعدد كبير من المقسمات على أجهزة الكمبيوتر غير عملي ويستغرق وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، فقد جمعت المجموعة أمثلة كافية لاكتشاف خصائص التقليد التي لم تكن معروفة من قبل.



وجدت المجموعة أنه بالنسبة لأي عدد معين من القواعد k ، هناك عدد محدود من التقليد ، والذي يتزامن مع نتيجة Dixon لعام 1913 للأرقام المثالية الفردية الحقيقية. قال نيلسن: "ومع ذلك ، إذا انتقلت k إلى ما لا نهاية ، يصبح عدد التقليد أيضًا لانهائيًا". وأضاف أن هذا لم يكن متوقعًا ، نظرًا لأنه بدأ هذا المشروع ، لم يكن متأكدًا من اكتشاف تقليد غريب واحد جديد ، ناهيك عن إظهار أن عددهم لا نهائي.



مفاجأة أخرى نابعة من نتيجة أثبتها أويلر أولاً: يجب أن تحتوي جميع القواعد الأولية لعدد فردي مثالي ، باستثناء واحد ، على درجات زوجية. يجب أن يكون لدى المرء درجة فردية - وهذا ما يسمى درجة أويلر. يعتقد معظم علماء الرياضيات أن درجة أويلر للأرقام المثالية الفردية هي دائمًا 1 ، لكن الفريق أظهر أن المحاكاة يمكن أن تكون كبيرة كما يحلو لهم.



وجد الفريق بعض النتائج من خلال تخفيف المتطلبات في تعريف التقليد ، حيث لا توجد قواعد رياضية واضحة لوصفها - فقط أنها يجب أن تحقق المساواة σ (ن) = 2 ن. سمح الباحثون بوجود قواعد غير أساسية (كما في مثال ديكارت) وقواعد سلبية (كما في مثال فويت). ومع ذلك ، فقد ذهبوا إلى أبعد من ذلك من خلال السماح للتقليد بأن يكون لها العديد من نفس القواعد. أحدهما ، على سبيل المثال ، قد يكون 7 ² والآخر 7 ³ ، وقد تم كتابتهما بشكل منفصل ، وليس 7 ⁵ . أو تركوا الأسباب تكرر نفسها كما في التقليد 3 ² × 7 ² × 7 ² × 13 ¹ × (19) ²... يمكن كتابة المصطلح 7 ² × 7 ² كـ 7 ⁴ ، ولكن بعد ذلك ستفشل المحاكاة ، لأن توسيع الأقواس في دالة سيجما المعدلة سيكون مختلفًا.



بالنظر إلى الاختلاف الكبير بين التقليد والأرقام المثالية الفردية الحقيقية ، قد يطرح المرء السؤال التالي: كيف يساعد الأول في العثور على الأخير؟

الطريق الى الامام؟

قال نيلسن أن التقليد هو تعميمات للأرقام الفردية المثالية. الأرقام المثالية الفردية هي مجموعة فرعية داخل عائلة أوسع ، والتي تتضمن التقليد ، لذلك ، يجب أن تحتوي الأعداد المثالية الفردية على جميع خصائص التقليد ، بالإضافة إلى قيود إضافية ، بل وأكثر صرامة (مثل ، على سبيل المثال ، شرط أن تكون جميع الأسباب بسيطة) ...



قال نيلسن: "يجب اتباع أي سلوك للمجموعة الأكبر بالنسبة للمجموعة الفرعية الأصغر". "لذلك إذا وجدنا سلوكًا تقليدًا لا ينطبق على فئة محدودة أكثر ، يمكننا تلقائيًا تجاهل إمكانية وجود أرقام مثالية فردية." إذا أمكن ، على سبيل المثال ، إثبات أن جميع عمليات المحاكاة قابلة للقسمة على 105 - وهو أمر مستحيل بالنسبة للأرقام المثالية الفردية ، كما أظهر سيلفستر في عام 1888 - فسيتم حل المشكلة.



ومع ذلك ، لم ينجحوا حتى الآن. قال نيلسن: "لقد اكتشفنا حقائق جديدة حول التقليد ، لكن لا أحد منهم ينكر وجود أرقام مثالية فردية ، على الرغم من أن هذا الاحتمال لا يزال قائمًا". من خلال مزيد من التحليل للتقليد المعروف حاليًا ، وربما استكمال قائمتهم في المستقبل ، يمكن لـ Nielsen (وكلا الاتجاهين يتطوران بفضله) وعلماء الرياضيات الآخرين اكتشاف خصائص جديدة للتقليد.



ترى البنوك أن هذا النهج مفيد. وقال: "يمكن أن يكون استكشاف التقليد الفردي مفيدًا في فهم بنية الأعداد المثالية الفردية ، إن وجدت". "وإذا لم تكن هناك أرقام مثالية فردية ، فإن دراسة التقليد الفردي يمكن أن يؤدي إلى إثبات ذلك."



الخبراء الآخرون في الأعداد المثالية الفردية ليسوا متفائلين. قال فويت إن فريق جامعة بريغهام يونغ "قام بعمل رائع ، لكنني لست متأكدًا من أننا اقتربنا من مهاجمة مشكلة العدد المثالي الفردية. هذه حقا مهمة العصور ، ومن المرجح أن تظل كذلك ".



بول بولاك ، عالم الرياضيات في جامعة جورجيا ، حذر أيضًا: "سيكون رائعًا إذا تمكنا من إلقاء نظرة على قائمة المحاكاة ورؤية بعض خصائصها ، وإثبات بطريقة ما عدم وجود أرقام مثالية فردية مع هذه الخاصية. سيكون مجرد حلم ، لكن يبدو أنه من الجيد جدًا أن يكون حقيقيًا ".



وافق نيلسن على أنه كانت هناك فرصة ضئيلة للنجاح هنا ، ولكن من أجل حل هذه المشكلة القديمة ، يجب على علماء الرياضيات تجربة كل شيء. علاوة على ذلك ، فإن دراسة التقليد قد بدأت للتو. اتخذت مجموعته بعض الخطوات المبكرة واكتشفت بالفعل خصائص غير متوقعة لهذه الأرقام. لذلك ، فهو متفائل بإمكانية اكتشاف "بنى مخفية" إضافية داخل التقليد.



لقد حدد نيلسن بالفعل تكتيكًا مقبولًا واحدًا استنادًا إلى حقيقة أن جميع عمليات التقليد التي تم العثور عليها حتى الآن ، بخلاف مثال ديكارت الأصلي ، لها أساس سلبي واحد على الأقل. إذا أثبتت أن جميع عمليات التقليد الأخرى يجب أن يكون لها أساس سلبي ، فسيثبت هذا عدم وجود أرقام مثالية فردية ، حيث يجب أن تكون قواعدها بحكم التعريف بسيطة وإيجابية.



قال نيلسن: "تبدو هذه مهمة أكثر صعوبة" ، لأنها تمس فئة أكبر وأكثر عمومية من الأرقام. "لكن في بعض الأحيان ، عندما تحول مشكلة إلى مشكلة تبدو أكثر صعوبة ، يمكنك رؤية الطريق إلى الحل."



في نظرية الأعداد ، الصبر مطلوب - أحيانًا يكون السؤال سهل طرحه ولكن من الصعب الإجابة عليه. قال نيلسن: "عليك التفكير في المهمة ، أحيانًا لفترة طويلة ، وإيلاء اهتمام خاص لها". - نحن نمضي قدما. نحن نحفر منجم. نأمل أن نجد ماسة إذا حفرنا لفترة كافية ".