Clever Geek Handbook

ترام عشوائي في وسط مدينة غير مألوفة





هناك مشكلة غريبة إلى حد ما ، تم تضمينها منذ فترة طويلة في الفولكلور الرياضي ، وأصبحت أيضًا اختبارًا مفضلًا في المقابلات. شروطه بسيطة ، والحل يبدو أنه يوحي بنفسه ، لكن دعونا لا نتسرع في الاستنتاجات. خذ قلم رصاص وورقة فارغة واجلس ودعنا نكتشف ذلك.



ما هي المهمة في الواقع



لذا تخيل أنك وصلت إلى مدينة غير مألوفة تمامًا وكان أول ترام قابلته هناك رقم 17. كيف يمكنك تقدير عدد طرق الترام الموجودة في هذه المدينة؟



من أجل التبسيط ، ضع في اعتبارك أن طرق الترام في المدينة مرقمة بدون فجوات بأرقام من 1 إلى N ، وفي البداية يمكن أن يكون كل رقم من هذه الأرقام مع فرص متساوية هو رقم الترام الذي قد تراه أولاً.



لأول مرة سمعت مشكلة "الترام العرضي" من نيكولاي نيكولايفيتش فاسيليف ، صديقي عالم الرياضيات في سانت بطرسبرغ. ثم شاركني ملاحظة مفادها أنه من بين أولئك الذين أخبرهم هذه المشكلة ، ثم طلب إجابة دون تردد ، دعا معظم الناس الرقم 34 ، أي " x2 " من 17. في تجربتي ، كان أكثر إسراف إجابة صديقي مع "مشمات": 17. بعد أسبوع واحد فقط أدركت أنه قد تأثر بمبدأ تعظيم الاحتمالية ، والذي كان ينام في مكان ما في القشرة الفرعية من دماغه. حسنًا ، لكن 17 و 34 ، بعبارة أخرى " x1 " و " x2 " ، إجابتان ساذجة وغير مدروسة ، لكن ما هي الإجابة الصحيحة ، وبشكل عام ، هل لهذه المشكلة إجابة؟



المزالق وعالم الخيال



لماذا يستحق الشك في وجود إجابة صحيحة عالميًا؟ من السهل الوصول إلى هذه الفكرة إذا كنت تفكر في عدة أكوان بسيطة ، وإن كانت خيالية. على سبيل المثال ، تخيل أن هناك بالضبط 30 طريق ترام في كل مدينة على وجه الأرض. هل سيكون الرقم "30" هو الإجابة الصحيحة الوحيدة في هذا الكون؟ تخيل الآن أنه في عالم آخر توجد 1000 مدينة على الأرض ، وفي 999 منها هناك 30 طريق ترام ، وفي الباقي - يوجد 17 منها بالضبط. أي إجابة ستكون صحيحة هذه المرة وكيف ستتأثر بحقيقة أن المدن بها هناك الكثير من المسارات 30 ، ولكن مع 17 هناك طريق واحد فقط؟ يجب أن أقول على الفور أنه من الصعب جدًا استخدام الاعتبارات الاحتمالية هنا ، لأن الشخص الذي طُلب منه تقدير عدد الطرق لا يعرف ما إذا كانت المدينة التي يزورها حاليًا قد تم اختيارها على الخريطة عن طريق الصدفة ،أو أن هناك سبب في هذا الاختيار وهناك حسابات شخص ما.



مبدأ التشاؤم الرياضي الشديد



على الرغم من الصعوبات المذكورة ، يوجد في الرياضيات مبدأ يمكن من خلاله تقديم إجابة لمشكلتنا ، والتي تظل ذات مغزى حتى في أكثر العوالم غرابة.

عندما يتعلق الأمر بالألعاب ، يسمى هذا المبدأ تعظيم المكاسب المضمونة ،

ولفهم جوهرها ، دعنا ننظر إلى مثال بسيط واحد.



تخيل لعبة: سراً منك في إحدى قبضتي ، أخفي شيئًا صغيرًا ، فليكن حبة بازلاء جافة ، ثم أمد ذراعي للأمام وأطلب منك تخمين أي واحدة من هذه البازلاء. دعنا نحظى بالوقت للعب مجموعة طويلة جدًا من الألعاب ، وفي البداية لا تعرف ما إذا كنت أحاول التغلب عليك فيها ، أو أحاول الاستسلام عمداً ، أو سأظل غير مبال بنجاحك. لنفترض أن هدفك هو الفوز بأكبر عدد ممكن من المباريات. ما هي الاستراتيجية التي يجب عليك اتباعها في هذه الحالة؟



أولاً ، دعنا نحاول تحليل مزايا وعيوب الاستراتيجيات الأربع البسيطة التالية:



  1. دائما اختر يدك اليمنى.
  2. ابدأ باليد اليمنى ، ثم اختر اليد التي وجدت فيها البازلاء آخر مرة.
  3. , , . «1» «2», , «3», «4», «5» «6» — .
  4. , . , «», , «» — .


إذا قررت استخدام الإستراتيجية 1) وفي نفس الوقت سأخفي دائمًا حبة البازلاء في يدي اليمنى ، فستنتهي جميع الألعاب لصالحك. يمكننا القول أن سيناريو تطور الحزب الذي أخفي فيه حبة البازلاء حصريًا في يدي اليمنى هو الأفضل لـ 1) . ومع ذلك ، في أسوأ السيناريوهات ، لن يسمح لك السيناريو الذي أخفي فيه حبة البازلاء حصريًا في يدي اليسرى ، الإستراتيجية 1) بالفوز بلعبة واحدة ، بغض النظر عن مدة لعبتنا.



من السهل تخمين أن الإستراتيجية 2) تعاني من نفس "الرذيلة" ، أي في أسوأ سيناريو لها ، فعندما أبدأ بيدي اليسرى ثم يدي متبادلة في كل من الألعاب التالية ، لن تسمح لك بالفوز ولو مرة واحدة ، مهما طال الوقت استمر حفلتنا.



الآن دعنا ننتقل إلى الاستراتيجية التي تأتي في المرتبة الثالثة في قائمتنا. إذا كنت تستخدمها ، فإن فرصك في الفوز في كل لعبة حيث تكون البازلاء مخبأة في يدك اليمنى ستكون 1/3 ، وفي الألعاب التي تكون فيها البازلاء في يدك اليسرى - 2/3. من الواضح أن أسوأ سيناريو لـ 3) هو عندما يكون لدي عادة إخفاء حبة البازلاء حصريًا في يدي اليمنى. ومع ذلك ، حتى في هذه الحالة ، في أي مجموعة طويلة بما فيه الكفاية من الألعاب ، سينتهي حوالي ثلثها بفوزك. من الناحية النظرية ، بالطبع ، قد لا تكون محظوظًا ، ولن تخمن اليد اليمنى أبدًا ، ولكن من الناحية العملية ، لنقل في لعبة تضم 1000 لعبة ، من غير المحتمل تقريبًا أن يكون عدد انتصاراتك أقل من333-4 دولارات مربعة {1000 \ \ cdot1 / 3 \ cdot2 / 3} \ $، أي أقل من 333 دولارًا - 60 دولارًاوفي لعبة تحتوي على مليون لعبة ، ستكون النسبة المئوية المحتملة للاختلافات أقل. في الواقع ، باختيار الإستراتيجية 3) ، فإنك تضمن لنفسك أن حوالي ثلث ألعاب الحفلة ستبقى معك.



إذا استخدمت الإستراتيجية الرابعة في القائمة ، فستكتسب لعبتنا ميزة مثيرة للاهتمام: في الواقع ، لم تعد مهمة بالنسبة لك ، هذه المرة أخفيت حبة البازلاء في يدي اليمنى أو وضعتها في يساري ، لأنه في كلتا الحالتين ستكون فرصك في الفوز هي نفسها و سيكون بالضبط 50٪. يمكنك حتى أن تقول إن أي تسلسل للأيدي حددته حيث سأخفي حبة البازلاء سيكون أفضل وأسوأ سيناريو لتطوير الحفلة بالنسبة لك. اتضح أنه في أي حال ، في مجموعة طويلة إلى حد ما من الألعاب ، يجب أن ينتهي نصفها بفوزك. بهذا المعنى ، تمنحك الإستراتيجية 4) أكبر الضمانات مقارنة بجميع الاستراتيجيات الأخرى التي درسناها بالفعل هنا.



ينص مبدأ تعظيم العائد المضمون على تعداد جميع الاستراتيجيات الممكنة للعبة ، بحيث يقوم كل منها بحساب قيمة المكافأة في أسوأ سيناريو لها وإعلان الاستراتيجية المثلى التي سيكون مقدار هذا المردود أكبر. يمكن إثبات أنه في لعبة تخمين موقع حبة البازلاء ، فإن الإستراتيجية رقم 4. وليس الأفضل فقط من القائمة ، هي الإستراتيجية رقم 4. في جوهرها ، فإن تعظيم الفوز المضمون يشبه عقيدة حياة أولئك الأشخاص الذين يميلون دائمًا إلى توقع الأسوأ ، ولكن لا يزالون تحاول بطريقة ما تحسين وضعهم في الحياة.



تأخذ مشكلة الترام "العشوائي" شكلها النهائي



الشكلية



لاستخدام مبدأ تعظيم المكاسب المضمونة ، تخيل أن القدر يلعب معك لعبة: يرسلك مرارًا وتكرارًا إلى مدينة غير معروفة تقع في عالم غير معروف ، وينتظر حتى تقابل أول ترام هناك ، ثم يسأل عن مقدار نفس الشيء في هذه المدينة لا يوجد سوى طرق الترام. سنفترض أن إجابتك تعتبر مقبولة وتنتهي اللعبة لصالحك ، إذا كان الرقم الذي حددته فقط يختلف أقل من مرتين عن الرقم الحقيقي ، لأعلى ولأسفل. سنفترض أيضًا أن هذه مجموعة طويلة جدًا من الألعاب تدوم مدى الحياة.



الآن أصبح من المشروع تمامًا طرح السؤال: "ما هي الإستراتيجية في اللعبة الموصوفة التي ستكون الأمثل بالنسبة لك بمعنى أنها يمكن أن توفر أقصى عدد من الإجابات المقبولة المضمونة؟"



تحليل مفصل لأبسط الاستراتيجيات



بصفتها "معركة أولى" مع المشكلة المطروحة للتو ، دعنا نحاول معرفة مدى جودة الاستراتيجيات الساذجة " x1 " و " x2 " بالنسبة لها .



لذا ، ألقى بنا القدر في مدينة أخرى غير مألوفة. كما كان من قبل ، الرسالة$ N $يشير إلى عدد خطوط الترام في هذه المدينة. حسب الشرط ، كل الأرقام من1 دولار قبل $ N $ مع احتمال متساوٍ قد يكون رقم مسار $ ك $، والذي سيتبعه أول ترام رصدناه.



حسب إستراتيجية " x1 "$ الخامس $ للرقم $ N $ يجب أن يكون بمفرده $ ك $... فمن الواضح أن$ ك $ لن يحدث مطلقا مرة اخري $ N $، لذلك لا يمكن أن يتحول ذلك $ الخامس $ كان أكثر 2N دولار... لذلك ، لن يكون تقديرنا مقبولاً إلا في حالة واحدة: إذا$ الخامس $، بمعنى آخر $ ك $، تبين أنه أقل من دولار N / 2 دولار... احتمالية الحصول على$ ك $ أقل دولار N / 2 دولار مع الغريب$ N $لا تتجاوز 50٪ ، وحتى - يساويهم. ويترتب على ذلك أنه عند استخدام إستراتيجية " x1 " في مجموعة طويلة جدًا من الألعاب ، يتم ضمان قبول ما لا يقل عن نصف التقديرات (تقريبًا) ، بغض النظر عن السيناريو الذي قد يكون للمصير.



لنفترض الآن أننا قررنا استخدام استراتيجية " x2 ". وفقًا لقواعد هذه الإستراتيجية ، عندما ترى الرقم على الترام$ ك $، يجب علينا $ الخامس $ اسم الرقم 2 ألف دولار... كما في الحالة السابقة ، لن يتجاوز تقديرنا أبدًا2N دولار، وبالتالي يعتبر غير مقبول بشرط واحد فقط إذا كانت قيمته أقل من دولار N / 2 دولار... في نفس الوقت،$ الخامس $ سيكون أقل دولار N / 2 دولار، فقط إذا كان رقم الترام $ ك $ سيكون أقل من دولار N / 4 دولار... احتمالية الحدث الأخير للمدن ذات$ N $ مضاعف 4 يساوي 1/4 دولار، وحتى أقل في المدن الأخرى. لذلك ، إذا قررنا الالتزام باستراتيجية " x2 " ، فإننا بذلك نكتسب ضمانًا بأنه في أي لعبة طويلة من الألعاب على الأقل ، ستكون 3/4 (تقريبًا) من جميع إجاباتنا مقبولة ، بغض النظر عن مدى سوء تصرف القدر معنا.



من خلال الأشواك إلى النجوم



قبل الشروع في الجزء الرئيسي من القصة ، حيث نبحث عن الاستراتيجيات المثلى ، سأقوم بتعديل ظروف المشكلة بشكل طفيف وافترض ذلك$ N $و $ الخامس $ و $ ك $يمكن أن تأخذ الآن ليس فقط القيم الطبيعية ، ولكن أيضًا أي قيم حقيقية أكبر من الصفر. هذه الخطوة ضرورية للتخلص من المحاذير المزعجة والتعداد الممل للحالات الخاصة المرتبطة بالتمييز. بالطبع ، لا يزال من الصعب الآن تخيل مدينة بها ترام بجميع الأرقام من 0 إلى π ، لكن هذا ليس ضروريًا بالنسبة لك. مشكلتنا في التعديل المستمر الجديد لها نموذج بسيط وواقعي تمامًا.



تخيل أن شخصًا ما أخذ شريطًا طويلًا من فيلم التصوير الفوتوغرافي$ N $سم وقررت ملاحظة كيف ستترك الجسيمات القادمة من الفضاء بصماتها عليها. على مقياس التجربة ، سيتم وصف كثافة احتمالية اصطدام الجسيمات بالفيلم بتوزيع موحد على الفاصل الزمني$ [0، \، N] $... في هذه التجربة ، يخبرك المجرب المسافة$ ك $بين الحافة اليسرى للفيلم ونقطة اصطدام أول جسيم مسجل. كما كان من قبل ، يجب عليك إعطاء تصنيف مقبول$ الخامس $ غير معروف لك $ N $، أي تقدير يختلف عن $ N $ليس أكثر من مرتين ، لأعلى ولأسفل. كما في السابق ، يلعب القدر معك لعبة طويلة من الألعاب ، وفي كل مرة يقرر ما سيكون$ N $في لعبة أخرى.



كتمرين بسيط ، أظهر أنه على الرغم من الظروف المتغيرة ، فإن إستراتيجية " x1 " لا تزال تضمن لك حوالي 50٪ ، والاستراتيجيون " x2 " - نفس النسبة تقريبًا 75٪ من التقديرات المقبولة ، على التوالي ، بغض النظر عن مصير السيناريو الذي يختاره.



طريق طويل نحو الكمال



الفرز المسبق



أخيرًا ، تم الانتهاء من جميع الاستعدادات وفي هذا القسم يمكننا البدء في البحث عن الاستراتيجيات المثلى. مع ذلك ، من أجل التبسيط ، لن نفكر في جميع الاستراتيجيات ، لكننا سنقتصر على تلك التي يتم تقديرها$ الخامس $ تخيل مثل $ و (ك) $أين $ f () $ هي بعض الوظائف ذات القيمة الحقيقية المحددة في الفترة الزمنية $ (0، \ + \ infty) $...



تخيل الآن أنه في تجربة واحدة كانت المسافة من نقطة تأثير الجسيم إلى الحافة اليسرى للفيلم تساوي$ k_1 $، وفي تجربة أخرى - $ k_2 $و و $ k_1 <k_2 $... ألن يكون من المعقول إذن إعطاء تقدير أصغر لطول الفيلم في التجربة الأولى عنه في الثانية؟ إذا كان الأمر كذلك ، فمن عدم المساواة$ k_1 <k_2 $ يجب أن يتبع عدم المساواة دائمًا $ f (k_1) <f (k_2) $بمعنى آخر ، الوظيفة $ f () $يجب أن تتزايد بشكل صارم. ليس من المعقول أن نفترض ذلك بالنسبة لأولئك "المتقاربين" في القيمة$ k_1 $ و $ k_2 $ التقييمات $ V_1 = f (k_1) $ و $ V_1 = f (k_2) $ يجب أن تكون قريبة أيضًا ، أي الوظيفة $ f () $يجب أن تكون مستمرة.



إذا قمنا بتحليل الإجابات التي نعتبرها مقبولة ، فسنحصل على

قيد آخر$ f () $... انظر ، في فهمنا للمشكلة$ الخامس $ مقبول إذا (وفقط إذا) $ N / 2 \ le f (k) \ le2N $... مسافة$ ك $ بين البقعة المضاءة بجسيم كوني والحافة اليسرى لفيلم التصوير لا تتجاوز أبدًا طول الفيلم $ N $، من هذا نحصل مباشرة على عدم المساواة: 2 ألف دولار \ لي 2 ن... ويترتب على عدم المساواة الأخيرة أنه سيكون من غير المعقول أن نتعلم المسافة من المجرب$ ك $، تقييم $ N $ رقم $ الخامس $ الأصغر 2 ألف دولار... في الواقع ، إذا قمنا بزيادة التقدير$ الخامس $ قبل 2 ألف دولار، فإننا بالتأكيد لن نجعلها كبيرة بشكل مفرط ، ومع ذلك ، في الحالات التي $ الخامس $كان في الأصل صغيرًا بشكل غير مقبول ، فإن إعادة التعريف هذه يمكن حتى "إصلاحها". وبالتالي ، في عملية البحث عن الاستراتيجيات المثلى ، يكفي أن نأخذ في الاعتبار تلك الوظائف فقط$ و (ك) $، قيمها للجميع $ k> 0 $ تخضع لعدم المساواة

$ f (k) \ geq2k $...



صيغة صاحبة الجلالة



الآن سنحاول التعبير عن قيمة المكسب المضمون في شكل صيغة تحليلية عامة لاستراتيجية عشوائية.



لذلك ، في التجربة التالية على تسجيل الجسيمات الكونية ، فيلم فوتوغرافي بطول$ N $و $ ك $ - إزالة نقطة تأثير الجسيم الأول من الحافة اليسرى (الفيلم) $ V = f (k) $ - تقديرنا لـ $ N $... دع التجربة يجب أن تتم ، فما هو إذن احتمال ذلك$ الخامس $ سيكون مقبولا $ N $؟ أعظم قيمة$ الخامس $، عندما لا يزال يعتبر مقبولًا ، يكون 2N دولار، هو الأصغر دولار N / 2 دولار...



بسبب ال$ f () $ يتزايد بشكل صارم ومستمر ، إذن هناك دالة عكسية $ f ^ {- 1} \ left (v \ right) $، وهو أيضًا يتزايد بشكل صارم ومستمر. للقيم$ f () $ في كل مكان عدم المساواة $ f (k) \ geq2k $، لذلك بالنسبة للقيم $ f ^ {- 1} () $ يجب استيفاء عدم المساواة المزدوجة: $ f ^ {- 1} \ left (v \ right) \ le 1/2 v $(الشكل 1)





التين. 1



الآن من السهل معرفة أن القيمة القصوى$ ك $أبعد من ذلك $ الخامس $ يصبح كبيرًا بشكل غير مقبول ، هو $ k_ {sup} = f ^ {- 1} \ left (2N \ right) $... هذا يتبع من حقيقة أن$ f ^ {- 1} \ left (\ right) $ يزيد بدقة و $ k_ {sup} = f ^ {- 1} \ left (2N \ right) \ le 2N $... وبالمثل ، القيمة الدنيا$ ك $أقل من ذلك $ الخامس $ يصبح صغيرًا بشكل غير مقبول ، هو $ k_ {inf} = f ^ {- 1} \ left (N / 2 \ right) $... من البيانين الأخيرين يتبع ذلك$ الخامس $ ستكون مقبولة فيما يتعلق بـ $ N $ إذا (وفقط إذا) المسافة $ ك $ بين البقعة المكشوفة والحافة اليسرى للفيلم بين $k_{inf}$ و $k_{sup}$... احتمالية الحدث الأخير ، نشير إليه على أنه$p_{success}(f,\ N)$، مساوي ل:

$\frac{k_{sup}-\ k_{inf}\ }{N}$



أو بمزيد من التفصيل:

$p_{success}(f,\ N)=\ \frac{f^{-1}\left(2N\right)-\ f^{-1}\left(N/2\right)\ }{N}$



يجب أن يكون واضحا أن الأسوأ ل $f$ سيكون السيناريو عبارة عن سلسلة من هذه التجارب ، في كل منها طول الفيلم الفوتوغرافي $\bar{N}$ يقلل من القيمة $p_{success}(f,\ N)$... ويترتب على ذلك أنه في التسلسلات الطويلة جدًا من التجارب ، يتم ضمان جزء الإجابات المقبولة من خلال التقدير$f(k)$، بالتعبير:

${\rho\left(f\right)={inf}_N[\ p}_{success}(f,\ N)]$



يمكننا الآن أن نجادل في أن أي استراتيجية مثالية يجب أن تحقق أقصى قدر $\rho\left(f\right)$، بعبارات أخرى، $\varphi(k)$ سيكون الأمثل إذا وفقط إذا:

${inf}_N[p_{success}\left(\varphi,\ N\right)]={sup}_f\ {inf}_N[p_{success}\left(f,\ N\right)]$

...

لذا ، فإن مشكلة إيجاد التقديرات المثلى قد تم تقليصها إلى مسألة كيف تبدو الوظيفة$\varphi(k)$الذي يسلم التعبير

$(*)\ \ \ \ \ \ inf_N\left[\frac{f^{-1}\left(2N\right)-f^{-1}\left(N/2\right)}{N}\right]$



الحد الأقصى في فئة جميع الوظائف المتزايدة بشدة المستمرة المحددة

في الفاصل الزمني$(0,+\infty)$الرسوم البيانية التي ليست أقل من $l(k)=\ 2k$... أليس صحيحًا أن المهمة في هذا الوضع قد تبدو صعبة للغاية؟ أعتقد أن هذا سيبدو غير متوقع بالنسبة لك ، لكن الإجابة بسيطة للغاية. دعنا نحاول تخمينها معًا.



فن التفكير المنطقي



ربما يكون أبسط شيء نبدأ به هو معرفة وظيفة النموذج$f(k)=\ \lambda\cdot k$ (هنا $\lambda$- أي رقم حقيقي ≥2) يعطي التعبير (*) أعلى قيمة. عكس$f(k)=\ \lambda\cdot k$ يخدم وظيفة $f^{-1}\left(v\right)=\lambda^{-1}\cdot v$، واستبداله في التعبير عن $p_{success}$، نملك:

$p_{success}\left(N,\lambda\right)=\ \frac{\lambda^{-1}\cdot2N-\lambda^{-1}\cdot N/2}{N}=\frac{3}{2}\ \cdot\ \lambda^{-1}\ $



كما ترى، $p_{success}$ لا تعتمد على $N$ وكلما زادت القيمة ، كان الأصغر $\lambda$... وهكذا ، في فئة الوظيفة$f(k)=\ \lambda\cdot k$و $\lambda\geq2$ يتم إعطاء أكبر قيمة للتعبير (*) من خلال الوظيفة المألوفة لدينا بالفعل $l(k)=\ 2k$...



لنفكر الآن فيما يحدث إذا قمنا بقياس المسافة ليس بالسنتيمترات ، ولكن ، على سبيل المثال ، بالمتر أو البوصة أو السنوات الضوئية - كيف سيتغير شكل الدالة$\varphi$التقدير الأمثل؟



دع التقدير بالسنتيمتر$V$ لديه الشكل $V_{cm}=\ f_{cm}(k_{cm})$و و $V_m$ و $k_m$ - نفس الكميات معبرا عنها بالمتر ، ثم:

$V_m=\frac{1}{100}V_{cm}=\frac{1}{100}f_{cm}({100\cdot k}_m)=\ f_m(k_m)$



بشكل عام ، سوف نتعامل مع مقياس الطول $A$ ومقياس الطول $B$الذي تم الحصول عليه من $A$ الضرب في المعامل $\mu_{AB}$... كل درجة$V(k)$ يمكن حسابها بوحدات القياس $A$، ووحدات القياس $B$... اسمحوا ان$f_A(k_A)$ - تمثيلها في وحدات القياس $A$و و $f_B(k_B)$ - التمثيل بوحدات القياس $B$، ثم:

$ f_B (t) = \ mu_ {AB} \ cdot f_A ({\ mu_ {AB}} ^ {- 1} \ cdot t) $



يشير شكل المعادلة الأخيرة إلى أن الوظائف $ f_A (t) $ و $ f_B (ر) $ على الأرجح مختلفة ($ t $في هذه الحالة ، يكون متغيرًا حقيقيًا بمعنى محايد).



هل تعتقد أنه من المعقول أن نتلقى نحن وبعض ممثلي الحضارة الكونية البعيدة إجابات مختلفة عن المشكلة التي يتم حلها هنا فقط لأن لدينا وحدات قياس طول مختلفة؟ على الاغلب لا! ومن ثم يتبع ذلك لأي$ \ mu> 0 $ وأي وظيفة $ \ varphi (t) $مما يزيد من التعبير $ (*) $، وظيفة $ \ psi (t) = \ mu \ cdot \ varphi (\ mu ^ {- 1} \ cdot t) $ يجب أيضًا تعظيم $ (*) $... إذا فجأة$ \ varphi (t) $ هو الأمثل الوحيد $ (*) $ وظيفة ، ثم للجميع $ t> 0 $ و $ \ mu> 0 $ الهوية تحمل:

$ \ varphi (t) = \ mu \ cdot \ varphi (\ mu ^ {- 1} \ cdot t) $

وضع هذه الهوية $ \ mu = t $وبالتالي نجد شكل الدالة $ \ varphi $:

$ \ varphi (t) = t \ cdot \ varphi (t ^ {- 1} \ cdot t) = t \ cdot \ varphi (1) $



انظر ماذا يحدث: إذا كانت جميع افتراضاتنا العديدة صحيحة ، فإن الوظيفة المثلى $ \ varphi (t) $ ينتمي إلى فئة الوظائف $ f (k) = \ lambda \ cdot k $، ولكن في وقت سابق اكتشفنا بالفعل أن الحد الأقصى لقيمة التعبير داخل الفئة المحددة $ (*) $ يعلق وظيفة $ l (k) = \ 2k $... هل " x2 " هي الاستراتيجية المثلى ؟



استنتاجات صارمة: أمثلية x2



حسنًا ، لدينا العديد من التلميحات إلى أن التقدير الذي قدمته الوظيفة$ l (k) = \ 2k $، هو الأمثل. دعنا نثبت هذه الفرضية بدقة ، ونحدد أيضًا في ظل أي ظروف لا توجد تقديرات أخرى مثالية.



اتخاذ وظيفة التعسفي المستمر المتزايد بدقة$ و (ك) $إرضاء عدم المساواة $ f (k) \ le2k $، نصلح بعضها $ v_0 $ من نطاق قيمها وحاول أولاً معرفة المعنى الهندسي المخفي وراء القيمة $ p_ {Success} \ left (f، \ v_0 \ right) $...





الشكل: 2



إذا كان الرسم البياني للدالة$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ نقاط مارك $A=({v_0/2,\ f}^{-1}(v_0/2))$ و $B=({{2v}_0,\ f}^{-1}({2v}_0))$ (الشكل 2) ، ثم قم بتوصيلهم بقطعة ، ثم ظل زاوية ميل هذا الجزء إلى المحور $Ov$ سيتم التعبير عنها بالصيغة

$\frac{f^{-1}\left(2v_0\right)-f^{-1}(v_0/2)}{3/2\ \cdot\ v_0}$

هذا هو ، في الواقع ، سيكون مساويًا لـ $2/3$من عند $ p_ {Success} \ left (f، \ v_0 \ right) $... يمكن التعبير عن نفس الملاحظة بطريقة مختلفة قليلاً: لهذا تحتاج إلى شريحة$AB$ تبدو وكأنها رسم بياني لبعض الوظائف $i(v)$... داخل الفاصل الزمني$(v_0/2,\ 2v_0)$ وظيفة $i(v)$ من الواضح أن له مشتق ثابت و $ p_ {Success} \ left (f، \ v_0 \ right) $ يساوي $3/2$- من حجمها.



الآن لم يعد من الصعب إظهار هذه الوظيفة$ و (ك) $ لا يمكن للفوز $ l (k) = \ 2k $ أكبر اللانهاية $ p_ {Success} $بعبارة أخرى ، استراتيجية " x2 " هي الأمثل.



سأبدأ بملاحظتين أوليتين:



  1. $f(k)\geq2k= l(k)$، وبالتالي $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)\le l^{-1}\left(v\right)=1/2\cdot v$ وهذا هو الرسم البياني للدالة $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ لا تقع فوق الرسم البياني $l^{-1}\left(v\right)$
  2. قيمة القيمة $p_{success}\left(l,\ v\right)$ لا تعتمد على $v$ ويتساوى $3/4$مشتق $l^{-1}\left(v\right)$ في جميع النقاط $1/2$...


للوصول إلى التناقض لاحقًا ، دعونا نفترض ذلك أولاً $ و (ك) $ أفضل بدقة $l(k)$... هذا الأخير ممكن فقط إذا كان هناك بعض$\varepsilon>0$ وللجميع $v$ عدم المساواة يحمل: $p_{success} (f,v)≥3/4 + ε$...



بالنسبة للبعض$u_0>0$ ملاحظة على الرسم البياني الوظائف $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ تسلسل النقاط

$B_0=(u_0/2,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/2\right)),\ B_1=(2u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)),\ B_2=(8u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(8u_0\right)),\ ...$

، وربطهم مع كسر $B_0\ B_1B_2...B_n...$ ونحن نفسر هذا الخط المكسور على أنه رسم بياني لدالة خطية متعددة التعريف $I(v)$... في تسلسل$u_0/2,\ 2u_0,\ 8u_0, \ldots\ $ كل قيمة لاحقة أكبر بأربع مرات من القيمة السابقة ، لذلك يمكننا النظر إلى بعضها لكل رقمين يتبعان بعضهما البعض $v_0/2$ و $2v_0$... هذا الأخير يعني أن في كل ارتباط$B_nB_{n+1}$ خط متقطع $I(v)$ مشتقها سيكون على الأقل $ مضمنة $ 2/3 \ cdot {inf} _v [p_ {Success} \ left (f، \ v \ right)] ≥2 / 3⋅ (3/4 + ε) = 1/2 + 2 / 3⋅ε $ مضمنة $...



منذ المشتق$l^{-1}\left(v\right)$ يساوي $1/2$والمشتق $I(v)$ في جميع النقاط أكثر $1/2$ على الأقل ل $2/3⋅ε$، ثم بغض النظر عن القيمة $I(v)$ في هذه النقطة $u_0$بتكبير غير محدود $v$ عاجلاً أم آجلاً ، سيكون جدولها الزمني أعلى من الجدول الزمني $l^{-1}\left(v\right)$... (الشكل 3)





شكل. 3



في نفس الوقت ، عليك أن تتذكر أن رؤوس الخطوط المتعددة$I(v)$ تقع على الرسم البياني للوظيفة $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$، لذلك (انظر الملاحظة 1)) يجب ألا يكون الخط المكسور أعلى من الرسم البياني $l^{-1}\left(v\right)$... التناقض الناتج يثبت ذلك$l\left(k\right)=2k$هو الأمثل.



استنتاجات صارمة: التفرد



ماذا سيحدث ، في الدليل المقدم للتو ، قمنا ببناء خط متقطع على طول مثل هذه السلسلة من الرؤوس ، والتي ، بدلاً من الابتعاد بلا حدود عن المحور$OK$، سوف يكون العكس - يسعى جاهدًا لتحقيق ذلك. في الواقع ، يمكن أن يثبت هذا أنه في أي عالم تكون فيه أبعاد شرائط الفيلم غير محدودة بأي حال من الأحوال من الأسفل ، باستثناء الاستراتيجية مع الوظيفة$l\left(k\right)=2k$، لا توجد استراتيجيات أخرى مثالية. دعونا نرى هذا.



افترض أن هناك وظيفة$f\left(k\right)$، وهو من ناحية هو الأمثل ، ومن ناحية أخرى ، يختلف عن $l\left(k\right)$... في هذه الحالة ، الوظيفة$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ مختلف عن $l^{-1}\left(v\right)$، ومنذ عدم المساواة $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)\le l^{-1}\left(v\right)$، إذًا يجب العثور على قيمة واحدة على الأقل $v$الذي $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ سيكون أقل بدقة $l^{\left(-1\right)}\left(v\right)$... اسمحوا ان$u_0$ إحدى هذه القيم $v$... على غرار الطريقة التي تصرفنا بها أعلاه ، على الرسم البياني$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ حدد تسلسل النقاط

$B_0=(2u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(2u_0\right)),\ B_1=(u_0/2,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/2\right)),\ B_2=(u_0/8,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/8\right)),\ ...$

ورسم خطًا متقطعًا من خلالها $B_0\ B_1B_2...B_n...$(الشكل 4). مرة أخرى سوف نفسر هذا الخط المكسور على أنه دالة خطية متعددة التعريف$I(v)$... لنفس الأسباب بالضبط كما كان من قبل ، مشتق الوظيفة$I(v)$ على كل رابط $B_nB_{n+1}$ لن يكون أقل من $2/3\cdot{inf}_v[p_{success}\left(f,\ v\right)]$... بسبب ال$ و $ هو الأمثل إذن ${inf}_v[p_{success}\left(f,\ v\right)]$ يجب ألا تقل عن ${inf}_v[p_{success}\left(l,\ v\right)]=3/4$... بدمج آخر جملتين ، نحصل على مشتق الوظيفة$I(v)$ لا مكان أقل $2/3\cdot3/4 = 1/2$...





الشكل: 4



دعونا نشير إلى الرمز$\Delta$ فرق $l^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)-f^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)$ وإدخال وظيفة أخرى: $g(v)=l^{-1}\left(v\right) - \Delta$... من بين الخصائص الواضحة$g(v)$ يمكن ملاحظة ما يلي:



  1. في هذه النقطة $u_0$ القيمة $g(v)$ يطابق قيمة الوظيفة $I(v)$
  2. المشتق $g(v)$ مع الكل $v$ هو نفس الشيء ومتساو $1/2$


دعونا نرى كيف ستتغير قيم الوظائف. $I(v)$ و $g(v)$ عند تقليل الحجة $v$ من عند $u_0$ قبل $0$... القيم أولا$I(v)$ و $g(v)$متساوية. المشتق$I(v)$ في أي وقت من الأوقات بينهما $(0,u_0)$ ما لا يقل عن مشتق $g(v)$، وبالتالي قيم الدالة $I(v)$ لا تنقص أبطأ من تقليل القيم $g(v)$... من الحقائق المذكورة يتبع ذلك خلال الفترة الزمنية بأكملها$(0,\,u_0)$ $I(v)\le g(v)$...



بسبب ال$g(v)=1/2\cdot v\ +\Delta$، ثم في الفترة $(0,\,2\Delta)$ المعنى $g(v)$ سلبية ، ومنذ ذلك الحين $I(v)\le g(v)$ ثم القيم $I(v)$يجب أن تكون سلبية أيضًا. في نفس الوقت يتصدر$I(v)$ هي نقاط الرسم البياني للوظيفة $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$، وظيفة يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة حصريًا ($ و $ محددة فقط للإيجابية $ ك $) ، وبالتالي فإن القيم $I(v)$لا يمكن أن تكون سلبية. التناقض الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة يثبت أنه بالإضافة إلى$l\left(k\right)=2k$، لا توجد تقديرات أخرى مثلى.



أسئلة المناقشة



حاول أن تتكيف بشكل مستقل مع حل مشكلة "الجسيمات العشوائية" مع ظروف مشكلة "الترام العشوائي". ما هي نتيجتك؟



تخيل أننا نحل مشكلة "جسيم عشوائي" في كون

لا يمكن أن يكون الفيلم فيه أقصر من 10 سنتيمترات. أظهر أن هذه الشروط تقديرية$l\left(k\right)=2k$سيظل الأمثل ، على الرغم من أنه لم يعد الوحيد. أظهر أن الأمثل ، على سبيل المثال ، هو التقدير$l\left(k\right)=2k+10$... ما هي الدرجات المثلى الأخرى التي وجدتها؟



هناك الكثير من الشكاوى حول مبدأ تعظيم المكاسب المضمونة إذا كان من المعروف أن خصمك ليس لديه رغبة في التغلب عليك. هذا المبدأ ، على سبيل المثال ، بالكاد يمكن اعتباره مبررًا عندما يتم لعب مجموعة من الألعاب "ضد" الظروف الجوية أو "ضد" سوق الأوراق المالية العالمية. ما هي مبادئ اختيار الاستراتيجيات في هذه الحالات التي يمكن أن تقترحها بدلاً من ذلك ، وأي منها ينطبق على مشكلة "الترام العشوائي"؟



سأكون سعيدا لأفكارك وتعليقاتك.



سيرجي كوفالينكو

2020

magnolia@bk.ru


More articles:


All Articles