🛂 👨🏼‍🤝‍👨🏻 👈🏿 مسافات المتجهات 🧗🏽 🤶🏻 👨🏽‍🤝‍👨🏻

عند إجراء البحوث العلمية والتطبيقية ، غالبًا ما يتم إنشاء نماذج يتم فيها مراعاة النقاط و / أو ناقلات مساحات معينة. على سبيل المثال ، تستخدم نماذج الشفرات ذات المنحنى الإهليلجي مسافات أفقية وإسقاطية. يتم استخدام الإسقاطات عندما يكون من الضروري تسريع العمليات الحسابية ، لأنه في الصيغ الخاصة بمعالجة نقاط المنحنى الإهليلجي المشتق في إطار الفضاء الإسقاطي ، لا توجد عملية قسمة على إحداثيات ، والتي لا يمكن تجاوزها في حالة مساحة أفيني .

عملية التقسيم هي مجرد واحدة من أكثر العمليات "تكلفة". الحقيقة هي أنه في الحقول الجبرية ، وبالتالي في المجموعات ، لا توجد عملية قسمة على الإطلاق ، والمخرج (عندما يكون من المستحيل عدم القسمة) هو أن عملية القسمة يتم استبدالها بالضرب ، ولكن يتم ضربها ليس بالإحداثيات نفسها ، ولكن من خلال قيمتها العكسية ... ويترتب على ذلك أنه يجب على المرء أولاً إشراك خوارزمية Euclidean GCD الموسعة وشيء آخر. باختصار ، ليس كل شيء بهذه البساطة التي صورها مؤلفو معظم المنشورات حول ECC. كل ما تم نشره حول هذا الموضوع وليس فقط على الإنترنت مألوف بالنسبة لي. لا يقتصر الأمر على أن المؤلفين ليسوا أكفاء ويشاركون في الألفاظ النابية ، بل يضيف مقيمو هذه المنشورات المؤلفين في التعليقات ، أي أنهم لا يرون ثغرات ولا أخطاء واضحة. حول مقال عادي ، يكتبون أنه بالفعل رقم 100500 وليس له أي تأثير.حتى الآن يتم ترتيب كل شيء في حبري ، وتحليل المنشورات ضخم ، لكن ليس جودة المحتوى. لا يوجد شيء يعترض عليه هنا - الإعلان هو محرك الأعمال.

الفضاء المتجه الخطي

تقودنا دراسة ووصف ظواهر العالم المحيط بالضرورة إلى إدخال واستخدام عدد من المفاهيم مثل النقاط والأرقام والمسافات والخطوط المستقيمة والمستويات وأنظمة الإحداثيات والمتجهات والمجموعات وما إلى ذلك.

دع r _<3>= <r1، r2، r3> متجه الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يحدد موضع جسيم واحد (نقطة) بالنسبة إلى الأصل. إذا أخذنا في الاعتبار عناصر N ، فإن وصف موقعها يتطلب تحديد إحداثيات 3-N ، والتي يمكن اعتبارها إحداثيات بعض المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. إذا أخذنا في الاعتبار الدوال المستمرة ومجموعاتها ، فإننا نصل إلى فضاءات أبعادها مساوية لما لا نهاية. من الناحية العملية ، غالبًا ما تقتصر على استخدام الفضاء الجزئي لمساحة وظيفة الإحداثيات اللانهائية التي لها عدد محدود من الأبعاد.

مثال 1 . سلسلة فورييه هي مثال على استخدام مساحة الوظيفة. ضع في اعتبارك توسيع دالة عشوائية في سلسلة فورييه

يمكن تفسيره على أنه توسيع "المتجه" f (x) إلى مجموعة لا نهائية من متجهات الأساس "المتعامدة" sinnx

هذا مثال على تجريد وتوسيع مفهوم المتجه إلى عدد لا نهائي من الأبعاد. في الواقع ، من المعروف أن -x≤π

لن يتأثر جوهر المزيد من الدراسة إذا استخلصنا أبعاد الفضاء المتجه المجرد - سواء كان 3 أو 3N أو اللانهاية ، على الرغم من أهمية المجالات ذات الأبعاد المحدودة والمساحات المتجهة للتطبيقات العملية.

مجموعة من المتجهات r1 ، r2 ، ... ستسمى مساحة متجه خطي L إذا كان مجموع أي عنصرين من عناصرها موجودًا أيضًا في هذه المجموعة وإذا تم تضمين نتيجة ضرب عنصر في رقم C أيضًا في هذه المجموعة. دعونا نجري حجزًا على الفور بحيث يمكن تحديد قيم الرقم C من مجموعة أرقام محددة جيدًا F - مجال وحدة البقايا رقم أولي p ، والذي يعتبر مرفقًا بـ L.

مثال 2 . مجموعة من 8 متجهات مكونة من n = 5 أرقام ثنائية

r0 = 00000 ، r1 = 10101 ، r2 = 01111 ، r3 = 11010 ، r4 = 00101 ، r5 = 10110 ، r6 = 01001 ، r7 = 11100 تشكل مساحة المتجه L إذا كانت الأرقام C є {0،1}. يسمح لك هذا المثال الصغير بالتحقق من مظهر خصائص الفضاء المتجه المتضمن في تعريفه.

يتم إجراء جمع هذه المتجهات بطريقة البتتين ، أي بدون نقل المتجهات إلى البت الأكثر أهمية. لاحظ أنه إذا كانت C كلها حقيقية (في الحالة العامة تنتمي C إلى مجال الأعداد المركبة) ، فإن فضاء المتجه يسمى حقيقي.

بشكل رسمي ، تتم كتابة بديهيات فضاء المتجه على النحو التالي:

r1 + r2 = r2 + r1 = r3 ؛ r1 ، r2 ، r3 L - التبادلية والإغلاق ؛

(r1 + r2) + r3 = r1 + (r2 + r3) = r1 + r2 + r3 - ارتباط الجمع ؛

ri + r0 = r0 + ri = ri ؛ ∀i ، ri ، r0 є L هو وجود عنصر محايد ؛

ri + (- ri) = r0 ، بالنسبة لـ i يوجد متجه معاكس (-ri) є L ؛

1 ∙ ri = ri ∙ 1 = ri وجود وحدة للضرب ؛

α (β ∙ ri) = (α ∙ β) ∙ ri ؛ α ، β ، 1 ، 0 هي عناصر حقل الرقم F ، ri є L ؛ الضرب بواسطة العددية هو ترابطي ؛ نتيجة الضرب تنتمي إلى L ؛

(α + β) ri = α ∙ ri + β ∙ ri ؛ بالنسبة لـ ∀i و ri є L و α و هي عدّادات ؛

a (ri + rj) = ari + arj للجميع a ، ri ، rj є L ؛

أ ∙ 0 = 0 ، 0 ∙ ri = 0 ؛ (-1) ∙ ري = - ري.

أبعاد وأساس الفضاء المتجه

عند دراسة الفراغات المتجهة ، من المهم توضيح أسئلة مثل عدد النواقل التي تشكل الفضاء بأكمله ؛ ما هو حجم الفضاء؟ ما هي أصغر مجموعة من المتجهات ، بتطبيقها عملية الجمع والضرب في رقم ، مما يجعل من الممكن تكوين جميع متجهات الفراغ؟ هذه الأسئلة أساسية ولا يمكن تجاهلها ، لأنه بدون إجابات عليها ، يضيع وضوح إدراك كل شيء آخر يشكل نظرية المساحات المتجهة.

اتضح أن بعد الفضاء يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالاعتماد الخطي للمتجهات ، وعدد المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن اختيارها في الفضاء قيد الدراسة بعدة طرق.

الاستقلال الخطي للناقلات

مجموعة من المتجهات r1 ، r2 ، r3 ... r من L تسمى مستقلة خطيًا إذا كانت العلاقة بالنسبة لهم

يتم استيفائه فقط بشرط المساواة المتزامنة

с_{1} = с_{2} = \dots = с_{р} = 0

$_1=_2=…=_=0$ .

الكل

с_{k}

$_k$ ، k = 1 (1) p ، تنتمي إلى المجال العددي المتبقي بالوضع الثاني

F = {0 ، 1}.

إذا كان في بعض الفضاء المتجه L ، يمكن للمرء اختيار مجموعة من المتجهات p التي تتعلق بها العلاقة

c_{1} r_{1} + c_{2} r_{2} + . . . + c_{p} r_{p} = 0

$c_1 r_1+c_2 r_2+...+c_p r_p=0$ راضٍ ، بشرط ألا يكون كل شيء

с_{k} = 0

$_k = 0$ وقت واحد ، أي في مجال الاستقطاعات ، اتضح أنه من الممكن تحديد مجموعة

с_{k}

$_k$ ، k = 1 (1) ، من بينها غير صفري ، ثم هذه النواقل

r_{i}

$r_i$ يسمى خطيا.

مثال 3. متجهان على متن الطائرة

е_{1}

$_1$ = <0 ، 1>^Tو

е_{2}

$_2$ = <1 ، 0>^Tمستقل خطيًا ، لأنه في العلاقة (تبديل T)

من المستحيل التقاط أي زوج من الأرقام

с_{1}, с_{2}

$_1, _2$ معاملين لا يساوي الصفر في نفس الوقت ، بحيث تتحقق النسبة.

ثلاثة نواقل

е_{1}

$_1$ = <0 ، 1>^T،

е_{2}

$_2$ = <1 ، 0>^T،

е_{3}

$_3$ = <1 ، 1>^Tتشكل نظامًا من النواقل المعتمدة خطيًا ، منذ ذلك الحين في العلاقة

يمكن ضمان المساواة عن طريق اختيار المعاملات

с_{1} = с_{2} = 1, с_{3} = - 1

$_1 = _2 = 1, _3 = –1$ لا يساوي الصفر في نفس الوقت. علاوة على ذلك ، المتجه

e_{3} = е_{1} + е_{2}

$e_3 = _1 + _2$ هي وظيفة

е_{1}

$_1$ و

е_{2}

$_2$ (مجموعهم) ، مما يدل على التبعية

e_{3}

$e_3$ من عند

е_{1}

$_1$ و

е_{2}

$_2$ ... إثبات الحالة العامة على النحو التالي.

دع على الأقل واحدة من القيم

с_{k}

$_k$ ، ك = 1 (1) ص ، على سبيل المثال ،

с_{р} \neq 0

$_ ≠ 0$ والعلاقة مرضية. هذا يعني أن النواقل

r_{k}

$r_k$ ، k = 1 (1) ، تعتمد خطيًا ،

دعنا نفصل صراحة المتجه r

يقال إن المتجه r _p عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات

r_{1}, r_{2} \dots r_{р} - 1

$r_1, r_2… r_-1$ أو r _{p من} خلال المتجهات المتبقية يتم التعبير عنها بطريقة خطية ، أي ص _ع يعتمد خطيا على الآخرين. هو وظيفتهم.

على مستوى ثنائي الأبعاد ، أي ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا ، لكن أي متجهين غير متصلين مستقلين. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تكون أي ثلاثة نواقل غير مستوية مستقلة خطيًا ، ولكن أي أربعة نواقل تعتمد دائمًا بشكل خطي.

تبعية / استقلال السكان {

e_{1}, e_{2}, e_{3}, . . ., e_{n}

${e_1, e_2, e_3, ..., e_n}$ } يتم تحديد المتجهات غالبًا عن طريق حساب محدد مصفوفة جرام (صفوفها هي حاصل الضرب النقطي لمتجهاتنا). إذا كان المحدد صفرًا ، فهناك نواقل تابعة بين المتجهات ؛ إذا كان المحدد غير صفري ، فإن المتجهات في المصفوفة تكون مستقلة.

محدد الجرام (غراميان) لنظام المتجهات

e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n} e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

في الفضاء الإقليدي ، محدد مصفوفة الجرام لهذا النظام يسمى:

| \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |, | \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},\;e_{1}\rangle &\langle e_{1},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},\;e_{n}\rangle \\\langle e_{2},\;e_{1}\rangle &\langle e_{2},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},\;e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},\;e_{1}\rangle &\langle e_{n},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},\;e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}},}\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},$

أين

⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩

${\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }\langle e_i,\;e_j\rangle{\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }\langle e_i,\;e_j\rangle$ - حاصل الضرب النقطي للناقلات

e_{i} e_{i}

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}\mathbf{e}_i$ و

e_{j} e_{j}

${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}\mathbf{e}_j$ ...

أبعاد وأساس فضاء متجه

يُعرَّف البعد s = d (L) لمساحة L على أنه أكبر عدد من المتجهات في L التي تشكل مجموعة مستقلة خطيًا. البعد ليس عدد المتجهات في L ، والتي يمكن أن تكون لانهائية ، وليس عدد مكونات المتجه.

تسمى المساحات ذات البعد المحدود s ≠ الأبعاد المحدودة إذا كانت

s = ∞ ، ذات أبعاد غير محدودة.

الإجابة على السؤال حول الحد الأدنى لعدد وتكوين المتجهات التي تضمن توليد جميع المتجهات في فضاء ناقل خطي هو البيان التالي.

تشكل أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا في الفضاء L قواعدها و c. هذا يتبع من حقيقة أن أي ناقل

r_{k}

$r_k$ يمكن تمثيل الفضاء المتجه الخطي ذو البعد s L بطريقة فريدة كمجموعة خطية من ناقلات الأساس.

نصلح ونشير بالرمز

е_{i}

$_i$ ، i = 1 (1) s ، هي إحدى المجموعات التي تشكل أساس الفراغ L. ثم

تسمى الأرقام r _ki ، i = 1 (1) s إحداثيات المتجه

r_{k}

$r_k$ في الأساس

е_{i}

$_i$ ، i = 1 (1) s ، و r _ki = (

е_{i}

$_i$ ،

r_{k}

$r_k$ ).

دعونا نظهر تفرد التمثيل

r_{k}

$r_k$ ... من الواضح أن المجموعة

e_{1}, e_{2}, . . ., e_{s}

$e_1,e_2,...,e_s$ ،

r_{k}

$r_k$ يعتمد منذ ذلك الحين

е_{i}

$_i$ ، i = 1 (1) s هو أساس. بمعنى آخر ، هناك مثل هذا

с_{1}, с_{2} . . . с_{s}, c_{k}

$_1, _2... _s, c_k$ لا تساوي الصفر في نفس الوقت

c_{1} \cdot e_{1} + c_{2} \cdot e_{2} + . . . + c_{s} \cdot e_{s} + c_{k} \cdot r_{k} = 0

$c_1·e_1 + c_2·e_2 + ...+ c_s·e_s + c_k·r_k = 0$ ...

علاوة على ذلك ، دعونا

c_{k} \neq 0

$c_k ≠ 0$ لأنه إذا

c_{k} = 0

$c_k = 0$ ، ثم واحد على الأقل من

с_{1}, с_{2}, . . ., с_{s}

$_1, _2 , ... , _s$ ، سيكون غير صفري ثم نواقل

e_{i}

$e_i$ ، i = 1 (1) s ، ستكون مرتبطة خطيًا ، وهو أمر مستحيل ، لأن هذا أساس. بناء على ذلك،

بافتراض

، سيكون لدينا

باستخدام طريقة الإثبات "من التناقض"، ونحن نفترض أن التمثيل المكتوب

r_{k}

$r_k$ ليس الوحيد في هذا الأساس وهناك شيء آخر

ثم نكتب الفرق في التمثيلات ، والتي ، بالطبع ، يتم التعبير عنها كما هو

واضح ، من الواضح أن الجانبين الأيمن والأيسر متساويان ، لكن الجانب الأيسر يمثل اختلاف المتجه مع نفسه ، أي أنه يساوي صفرًا. وبالتالي ، الطرف الأيمن يساوي صفرًا أيضًا. ثلاثة أبعاد

е_{i}

$_i$ ، i = 1 (1) s مستقلة خطيًا ، لذا فإن جميع المعاملات الخاصة بها يمكن أن تكون صفرًا فقط. من هذا نحصل على ذلك

وهذا ممكن فقط

اختيار الأساس. التعامد

تسمى النواقل طبيعية إذا كان طول كل منها يساوي واحدًا. يمكن تحقيق ذلك من خلال تطبيق إجراء التطبيع على نواقل عشوائية.

تسمى النواقل المتعامدة إذا كانت متعامدة مع بعضها البعض. يمكن الحصول على هذه النواقل من خلال تطبيق إجراء التعامد على كل منها. إذا تم استيفاء كلتا الخاصيتين لمجموعة من المتجهات ، فإن المتجهات تسمى متعامد.

الحاجة إلى النظر في القواعد المتعامدة ناتجة عن الحاجة إلى استخدام تحويلات سريعة لكل من الوظائف أحادية الأبعاد ومتعددة الأبعاد. تنشأ مهام هذه المعالجة في دراسة أكواد ترميز رسائل المعلومات في شبكات الاتصال ذات الأغراض المختلفة ، في دراسة الصور التي تم الحصول عليها

من خلال الأجهزة الآلية والآلية ، في عدد من المجالات الأخرى باستخدام التمثيل الرقمي للمعلومات.

تعريف.

تسمى مجموعة n ناقلات مستقلة خطيًا للفضاء المتجه ذي الأبعاد n أساسها.

نظرية . يمكن تمثيل كل متجه x لمساحة متجهية ذات أبعاد n خطية ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة ، في شكل مجموعة خطية من المتجهات الأساسية. تمتلك مساحة المتجه V فوق الحقل F الخصائص التالية:

0 x = 0 (0 على الجانب الأيسر من المساواة هو عنصر محايد من المجموعة المضافة للحقل F ؛ 0 على الجانب الأيمن من المساواة هو عنصر من الفضاء V ، وهو عنصر وحدة محايدة من المجموعة المضافة V ، يسمى متجه الصفر ) ؛

(- 1) x = –x ؛ –1є فهرنهايت ؛ س є الخامس ؛ –X є V ؛

إذا كانت α x = 0єV ، فعندئذٍ بالنسبة إلى x ≠ 0 دائمًا α = 0.

لنفترض أن Vn (F) هي مجموعة كل التسلسلات (x1 ، x2 ، ... ، xn) ذات الطول n مع مكونات من الحقل F ، أي ، Vn (F) = {x ، مثل أن x = (x1، x2، ...، xn)، xi є F؛

أنا = 1 (1) ن}.

تُعرَّف عمليات الجمع والضرب في العددية على النحو التالي:

x + y = (x1 + y1، x2 + y2،…، xn + yn) ؛

α x = (α x1، α x2،…، α xn) ، حيث y = (y1، y2، ...، yn) ،

ثم Vn (F) هي مساحة متجه فوق الحقل F.

مثال 4 . في مساحة المتجه r = 00000 ، r1 = 10101 ، r2 = 11010 ، r3 = 10101 فوق الحقل F2 = {0،1} حدد أبعادها وأساسها.

القرار. لنكوِّن جدولًا لجمع متجهات لمساحة متجه خطية

في هذا الفراغ المتجه V = {ro، r1، r2، r3} لكل متجه نفسه على عكسه. أي متجهين ، باستثناء r ، مستقلان خطيًا ، مما يسهل التحقق من

c1 · r1 + c2 · r2 = 0 ؛ c1 r1 + c3 r3 = 0 ؛ c2 r2 + c3 r3 = 0 ؛

كل من العلاقات الثلاث صالحة فقط للقيم الصفرية المتزامنة لأزواج المعاملات ci، cj є {0،1}.

عندما يتم النظر في ثلاثة متجهات غير صفرية في وقت واحد ، يكون أحدها دائمًا مجموع المتجهين الآخرين أو يساوي نفسه ، و r1 + r2 + r3 = r.

وبالتالي ، فإن أبعاد مساحة المتجه الخطية المعتبرة تساوي اثنين s = 2 ، d (L) = s = 2 ، على الرغم من أن كل متجه يحتوي على خمسة مكونات. أساس الفضاء هو المجموعة (r1 ، r2). يمكنك استخدام الزوج (r1، r3) كأساس.

من الناحية النظرية والعملية ، فإن مسألة وصف الفضاء المتجه مهم. اتضح أن أي مجموعة من نواقل الأساس يمكن اعتبارها صفوفًا من بعض المصفوفة G ، تسمى مصفوفة توليد مساحة المتجه. يمكن تمثيل أي متجه لهذه المساحة كمجموعة خطية من صفوف المصفوفة G ( على سبيل المثال ، هنا ).

إذا كان بُعد فضاء المتجه يساوي k ويساوي عدد صفوف المصفوفة G ، رتبة المصفوفة G ، فمن الواضح أن هناك معاملات k مع قيم مختلفة q لتوليد جميع التركيبات الخطية الممكنة لصفوف المصفوفة. علاوة على ذلك ، تحتوي مساحة المتجه L على متجهات q ^k .

مجموعة جميع المتجهات من ℤpn مع عمليات إضافة المتجهات وضرب متجه بواسطة عددية من ℤp هي مساحة متجه خطية.

التعريف . مجموعة فرعية W من فضاء متجه V تفي بالشروط:

إذا w1 ، w2 є W ، ثم w1 + w2 є W ،

بالنسبة لأي α є F و w є W ، فإن العنصر αw є W هو

نفسه مساحة متجهية فوق المجال F ويسمى فضاء فرعي من فضاء المتجه V.

لنفترض أن V مساحة متجهة على حقل F ومجموعة W ⊆ V. مجموعة W هي فضاء فرعي من V إذا كانت W هي مساحة متجهية خطية فيما يتعلق بالعمليات الخطية المحددة في V.

الطاولة. خصائص المساحات المتجهة

انضغاط تمثيل المصفوفة لمساحة متجه واضح. على سبيل المثال ، تحديد متجهات L لأرقام ثنائية 50 بت ، من بينها 30 متجهًا تشكل أساس مساحة المتجه ، يتطلب تكوين المصفوفة G [30،50] ، والعدد الموصوف من المتجهات يتجاوز 10 ⁹ ، والذي يبدو غير معقول في تدوين العنصر الحكيم.

يتم تقسيم جميع القواعد في أي مساحة L بواسطة المجموعة الفرعية P من المصفوفات غير المتولدة مع det G> 0 إلى فئتين. يطلق على أحدهما (بشكل تعسفي) فئة ذات قواعد موجبة التوجيه (القواعد اليمنى) ، بينما تحتوي الفئة الأخرى على قواعد يسارية.

في هذه الحالة ، يقولون أنه يتم إعطاء اتجاه في الفضاء. بعد ذلك ، أي أساس هو مجموعة مرتبة من النواقل.

إذا تم تغيير ترقيم متجهين في الأساس الصحيح ، فسيصبح الأساس يسارًا. هذا يرجع إلى حقيقة أنه تم تبديل صفين في المصفوفة G ، وبالتالي ، فإن المحدد detG سيتغير العلامة.

حاصل الضرب القياسي والنقطي للناقلات

بعد حل الأسئلة المتعلقة بإيجاد أساس فضاء متجه خطي ، وحول توليد جميع عناصر هذا الفضاء وحول تمثيل أي عنصر وفضاء المتجه نفسه من خلال متجهات الأساس ، يمكننا طرح مشكلة القياس في هذا الفضاء للمسافات بين العناصر والزوايا بين المتجهات وقيم مكونات المتجه ، أطوال النواقل نفسها.

يسمى الفضاء المتجه الحقيقي أو المعقد L مساحة متجه معيارية إذا كان كل متجه r فيه يمكن أن يقترن برقم حقيقي || r || - معامل المتجه ، القاعدة. متجه الوحدة هو متجه معياره يساوي واحدًا. المتجه الصفري لا يحتوي على مكونات.

تعريف... يسمى فضاء المتجه الوحدوي إذا تم تحديد عملية ثنائية فيه تقوم بتعيين عدد قياسي لكل زوج ri ، rj من المتجهات من L. بين قوسين (ri ، rj) يتم كتابة الناتج القياسي أو الداخلي لـ ri و rj (يُشار إليهما) ، و

1. (ri ، rj) = ri ∙ rj ؛

2. (ri، rj) = (ri ∙ rj) * ، حيث * تشير إلى الاقتران المعقد أو التناظر Hermitian ؛

3. (ri، rj) = (ri ∙ rj) - قانون الجمعيات ؛

4. (ri + rj، rk) = (ri ∙ rk) + (rj ∙ rk) - قانون التوزيع ؛

5. (ri، rk) ≥ 0 ومن (ri، rj) = 0 يتبع ri = 0.

التعريف .

تسمى القيمة الموجبة للجذر التربيعي المعيار (أو الطول ، المعامل) للمتجه ri. إذا كان

= 1 ، فإن المتجه ri يسمى طبيعي...

متجهان ri ، rj لمساحة المتجه الوحدوي L متعامدان بشكل متبادل إذا كان ناتجهما القياسي يساوي صفرًا ، أي (ri، rj) = 0.

بالنسبة إلى s = 3 في فضاء متجه خطي ، من الملائم اختيار ثلاثة متجهات متعامدة بشكل متبادل كأساس. يبسط هذا الاختيار عددًا من التبعيات والحسابات بشكل كبير. يتم استخدام نفس مبدأ التعامد عند اختيار أساس في الفراغات والأبعاد الأخرى s> 3. يوفر استخدام العملية المقدمة للمنتج القياسي للمتجهات إمكانية مثل هذا الاختيار.

يتم تحقيق مزايا أكبر عند الاختيار كأساس لمساحة المتجهات للناقلات المتعامدة العادية - الأساس المتعامد... ما لم يُنص على خلاف ذلك ، سنفترض دائمًا أن الأساس ei ، i = 1 (1) s تم اختياره بهذه الطريقة ، أي

حيث ij هو رمز كرونيكر (1823 - 1891).

في المساحات المتجهية الموحدة ، يكون هذا الاختيار دائمًا قابلاً للتحقيق. دعونا نظهر جدوى مثل هذا الاختيار.

تعريف. لنفترض أن S = {v1، v2،…، vn} هي مجموعة منتهية من فضاء متجه V فوق حقل F.

مجموعة خطية من المتجهات من S هي تعبير عن النموذج a1 ∙ v1 + a2 ∙ v2 + ... + an ∙ vn ، حيث كل ai ∊ F.

مغلف مجموعة S (تدوين {S}) هو مجموعة من جميع التركيبات الخطية من المتجهات من S. مغلف S هو فضاء فرعي من V.

إذا كانت U مسافة في V ، فإن U ممتدة بواسطة S (عقود S U) إذا {S} = يو.

مجموعة المتجهات S تعتمد خطيًا على F ، إذا كان هناك عدد قياسي a1 ، a2 ، ... ، a في F ، ليس كل الأصفار التي a1 ∙ v1 + a2 ∙ v2 +… + an ∙ vn = 0. إذا لم تكن هناك مثل هذه العددية ، فإن المجموعة من المتجهات S خطيًا بشكل مستقل على F.

إذا امتد فضاء متجه V بواسطة نظام مستقل خطيًا من المتجهات S (أو النظام S يتعاقد مع الفضاء V) ، فإن النظام S يسمى أساسًا لـ V.

تخفيض أساس تعسفي إلى شكل متعامد

دع الفضاء V له أساس غير متعامد ē _i ، i = 1 (1) s. نشير إلى قاعدة كل متجه أساس بالرمز

البيان التالي معروف [11]. إذا كان ē _i ، i = 1 (1) s نظامًا محدودًا أو معدودًا تعسفيًا للمتجهات المستقلة خطيًا في مساحة متجهية وحدوية ، فهناك نظام متعامد ē _i ، i = 1 (1) s ، يولد نفس المساحة الخطية (متشعب).

يعتمد الإجراء الخاص باختزال الأساس إلى نموذج متعامد على عملية التعامد Gram-Schmidt ، والتي يتم تنفيذها بدورها بواسطة الصيغ المتكررة

في شكل موسع ، تحتوي خوارزمية التعامد والتطبيع الأساسية على الشروط التالية:

قسّم المتجه ē ₁ حسب معياره ؛ نحصل على المتجه الطبيعي ē _i = ē ₁ / (|| ē ₁ ||) ؛

نشكل V2 = ē ₂ - (ē ₁ ، ē ₂ ) e ₁ ونطبيعه ، نحصل على e ₂ . من الواضح أن

(e1، e2) ~ (e1، e2) - (e1، e ₂ ) (e1، e1) = 0؛

بناء V3 = ē ₃ - (e1، ē ₃ ) e1 - (e2، ē ₃ ) e2 وتطبيعه نحصل على e3.

بالنسبة لها ، لدينا على الفور (e1، e3) = (e2، e3) = 0.

استمرارًا لهذه العملية ، نحصل على مجموعة متعامدة ē _i ، i = 1 (1) s. تحتوي هذه المجموعة على متجهات مستقلة خطيًا لأنها كلها متعامدة بشكل متبادل.

دعونا نتأكد من هذا. دع العلاقة

إذا كانت المجموعة ē _i ، i = 1 (1) s تعتمد ، فعندئذٍ يكون معامل cj واحدًا على الأقل لا يساوي صفر cj ≠ 0.

بضرب كلا طرفي النسبة بواسطة ej ، نحصل على

(ej ، c1 ∙ e1) + (ej ، c2 ∙ e2) + ... + (ej، cj ∙ ej) + ... + (ej، cs ∙ rs) = 0.

كل مجموع في المجموع يساوي صفرًا كمنتج عددي للمتجهات المتعامدة ، باستثناء (ej ، cj ∙ ej) ، والتي تساوي صفرًا في شرط. لكن في هذا المصطلح

(ej ، ej) = 1 0 ، لذلك ، فقط cj يمكن أن يكون صفرًا.

وبالتالي ، فإن الافتراض بأن cj ≠ 0 ليس صحيحًا وأن المجموعة مستقلة خطيًا.

مثال 5 . أساس الفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد:

{<-1 ، 2 ، 3 ، 0> ، <0 ، 1 ، 2 ، 1> ، <2 ، -1 ، -1،1>}.

يتم تعريف المنتج النقطي بالعلاقة:

(<x1، x2، x3، x4>، <y1، y2، y3، y4>) = x1 ∙ y1 + x2 ∙ y2 + x3 ∙ y3 + x4 y4.

باستخدام إجراء التعامد Gram - Schmidt ، نحصل على نظام من النواقل:

1 = <-1 ، 2 ، 3 ، 0> ؛ a2 = <0 ، 1 ، 2 ، 1> -4 <-1 ، 2 ، 3.0> / 7 = <4 ، -1 ، 2 ، 7> / 7 ؛

a3 = <2، -1، -1، 1> + ½ <-1، 2، 3، 0> - <4، -1، 2، 7> / 5 = <7، 2، 1، -4> / عشرة.

(أ 1 ، أ 2) = (1 + 4 + 9 + 0) = 14 ؛

a1 ^E = a1 / 14 ؛

a2- (a1 ^E ، a2) ∙ a1 ^E = a2- (8 / √14) (a1 / √14) = a2 - 4 a1 / 7 ؛

القارئ مدعو لمعالجة المتجه الثالث بشكل مستقل.

تأخذ النواقل الطبيعية الشكل:

a1 ^E = a1 / √14 ؛

a2 ^E = <4، -1، 2، 7> / √70 ؛

a3 ^E = <7، 2، 1، -4>/ √70 ؛

أدناه ، في المثال 6 ، يتم تقديم عملية مفصلة مفصلة لحساب اشتقاق أساس متعامد من أساس بسيط (مأخوذ عشوائيًا).

مثال 6 . قم بتقليل الأساس المحدد لمساحة المتجه الخطي إلى الشكل المتعامد.

معطى: نواقل الأساس

الفراغات الفرعية للمساحات المتجهة

هيكل فضاء متجه

يمثل تمثيل الأشياء (الأجسام) في فضاءات متعددة الأبعاد مهمة صعبة للغاية. لذلك ، فإن المكعب رباعي الأبعاد له مكعبات عادية ثلاثية الأبعاد كوجوه ، ويمكن بناء مكعب رباعي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد. إلى حد ما ، تساهم "الصور" ووضوح الشيء أو أجزائه في دراسته الأكثر نجاحًا.

ما سبق يسمح لنا بافتراض أن المساحات المتجهة يمكن أن تنقسم بطريقة ما ، لتمييز أجزاء منها ، تسمى الفراغات الفرعية. من الواضح أن النظر في المساحات والأشياء متعددة الأبعاد وخاصة اللانهائية منها يحرمنا من وضوح التمثيلات ، مما يجعل من الصعب للغاية دراسة الأشياء في مثل هذه

المساحات. حتى الأسئلة التي تبدو بسيطة مثل الخصائص الكمية لعناصر متعددات الوجوه (عدد الرؤوس ، والحواف ، والوجوه ، وما إلى ذلك) في هذه المساحات بعيدة كل البعد عن الحل الكامل.

تتمثل الطريقة البناءة لدراسة هذه الكائنات في تحديد عناصرها (على سبيل المثال ، الحواف والوجوه) ووصفها في مساحات ذات أبعاد أقل. لذلك فإن المكعب رباعي الأبعاد له مكعبات عادية ثلاثية الأبعاد كوجوه له ، ويمكن بناء مكعب رباعي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد. إلى حد ما ،

تساهم "الصور" ووضوح الكائن أو أجزائه في دراستهم الأكثر نجاحًا.

إذا كانت L امتدادًا للحقل K ، فيمكن اعتبار L كمساحة متجه (أو خطي) فوق K. تشكل عناصر الحقل L (أي ، المتجهات) مجموعة أبيلية عن طريق الإضافة. علاوة على ذلك ، يمكن ضرب كل "متجه" a L بـ "عددي" r є K ، وينتمي المنتج ra مرة أخرى إلى L (هنا ra هو ببساطة المنتج بمعنى تشغيل المجال L للعنصرين r و a لهذا الحقل). تحتوي القوانين أيضًا على

r ∙ (a + b) = r ∙ a + r ∙ b، (r + s) ∙ a = r ∙ a + r ∙ s، (r ∙ s) ∙ a = r ∙ (s a) و 1 ∙ أ = أ ، حيث ص ، ث є ك ، أ ، ب є ل.

يسمح لنا ما سبق ذكره بافتراض أنه يمكن تقطيع أوصال المساحات المتجهة بطريقة ما ، لتمييز أجزاء منها ، تسمى الفراغات الفرعية. من الواضح أن النتيجة الرئيسية لهذا النهج هي تقليل أبعاد المساحات الفرعية المخصصة. دع الفراغات الفرعية L1 و L2 يتم تمييزها في فضاء خطي متجه L. كأساس لـ L1 ، يتم اختيار مجموعة أصغر ei ، i = 1 (1) s1 ، s1 <s ، مقارنة بالمجموعة الأصلية L.

تولد متجهات الأساس المتبقية فضاءًا فرعيًا آخر L2 ، يُطلق عليه "المكمل المتعامد" للفضاء الجزئي L1. سنستخدم الترميز L = L1 + L2. هذا لا يعني أن جميع نواقل الفضاء L تنتمي إلى L1 أو L2 ، ولكن أي متجه من L يمكن تمثيله كمجموع متجه من L1 ومتجه متعامد من L2.

ليست مجموعة ناقلات الفضاء المتجه L المنقسمة ، ولكن البعد d (L) ومجموعة المتجهات الأساسية. وبالتالي ، فإن الفضاء الجزئي L1 للفضاء المتجه L هو المجموعة L1 من عناصره (ذات البعد الأدنى) ، والتي هي نفسها مساحة متجهية فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب برقم تم تقديمه في L.

كل فضاء فرعي خطي متجه Li - يحتوي على متجه صفري ويحتوي ، مع أي من متجهاته ، على جميع تركيباتها الخطية. لا يتجاوز أبعاد أي فضاء جزئي خطي أبعاد الفضاء الأصلي نفسه.

مثال 7.في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد ، تكون المساحات الفرعية كلها خطوط مستقيمة (البعد ق = 1) خطوط ، طائرات (البعد ق = 2) تمر عبر الأصل. في الفراغ n من كثيرات الحدود من الدرجة في معظم الحالات ، تكون المسافات الفرعية ، على سبيل المثال ، جميع k لـ k <n ، نظرًا لأن إضافة وضرب بأرقام متعددة الحدود من الدرجة على الأكثر k ، سنحصل مرة أخرى على نفس كثيرات الحدود.

ومع ذلك ، يتم احتواء كل من الفراغات Pn كمسافات فرعية في الفضاء P لجميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية ، وهذا الأخير هو فضاء فرعي من الفضاء C للوظائف المستمرة.

تشكل المصفوفات من نفس النوع في مجال الأعداد الحقيقية أيضًا مساحة متجهية خطية ، لأنها تلبي جميع بديهيات فضاءات المتجهات. الفضاء المتجه L2 لمجموعات الطول n ، كل منها متعامد مع الفضاء الجزئي L1 لمجموعات الطول n ، تشكل فضاءًا فرعيًا L2 ، يسمى مسافة الصفر لـ L1. بمعنى آخر ، كل متجه من L2 متعامد مع كل متجه من L1 والعكس صحيح.

كلا الفضاءين الفرعيين L1 و L2 هما فضاءان فرعيان من فضاء المتجه L لمجموعات الطول n. في نظرية الترميز [4] ، كل من الفضاءتين الفرعيتين L1 و L2 تولد رمزًا خطيًا مزدوجًا للشفرة التي تم إنشاؤها بواسطة فضاءات فرعية أخرى. إذا كانت L1 عبارة عن رمز (n ، k) ، فإن L2 هي رمز (n ، n - k). إذا كان الكود عبارة عن مساحة متجه لصفوف بعض المصفوفة ، فإن كودها المزدوج هو المساحة الصفرية لهذه المصفوفة والعكس صحيح.

قضية مهمة في دراسة الفراغات المتجهة Vn هي إنشاء هيكلها (هيكلها). بمعنى آخر ، العناصر المهمة هي مجموعاتها (فضاءات فرعية من البعد 1 <ك <ن) ، بالإضافة إلى علاقاتها (الترتيب والتداخل وما إلى ذلك). نحن نفترض أن فضاء متجه معين Vn فوق حقل محدود GF (q) يتكون من عناصر q = p r ، حيث p هو رقم أولي و r عدد صحيح.

النتائج التالية معروفة.

عدد المسافات الفرعية لمساحة متجه

دعونا نعطي التبرير التالي. يمكن اختيار كل متجه v1 ≠ 0 من نظام k مستقل خطيًا (v1 ، v2 ، ... ، vk) بطرق q ⁿ - 1. لا يمكن التعبير عن المتجه التالي v2 ≠ 0 خطيًا من حيث v1 ، أي يمكن اختيارها بطرق q ⁿ - q ، إلخ.

لا يتم أيضًا التعبير عن المتجه الأخير vk ≠ 0 خطيًا من حيث المتجهات المحددة سابقًا v1 ، v2 ، ... ، vk ، وبالتالي ، يمكن اختيارها بطرق q ⁿ - q ^k - 1. العدد الإجمالي للطرق لتحديد مجموعة من المتجهات v1 ، v2 ، ... ، vk ، وبالتالي ، يتم تعريفه على أنه ناتج عدد التحديدات للمتجهات الفردية ، مما يعطي الصيغة (1). بالنسبة للحالة عندما k = n ، لدينا w = wn ، n ومن الصيغة (I) نحصل على الصيغة (2).

نتائج التعميم الهامة على أبعاد الفراغات.

يشكل جمع كل المجموعات ذات الطول n المتعامد إلى الفضاء الجزئي V1 من المجموعات ذات الطول n الفضاء الجزئي V2 من مجموعات الطول n. تسمى هذه المساحة الفرعية V2 المساحة الفارغة لـ V1.

إذا كان المتجه متعامدًا مع كل متجه يولد الفضاء الفرعي V1 ، فإن هذا المتجه ينتمي إلى المساحة الصفرية لـ V1.

مثال على (V1) هو مجموعة متجهات 7 بتات من المصفوفة المولدة لشفرة هامنج (7،4) ، مع مساحة فرعية صفرية (V2) من متجهات 7 بتات التي تشكل مصفوفة التحقق من التكافؤ لهذا الرمز.

إذا كان أبعاد الفضاء الجزئي (V1) لمجموعات الطول n يساوي k ، فإن أبعاد الفضاء الجزئي الصفري (V2) يساوي n - k.

إذا كانت V2 عبارة عن مساحة فرعية من مجموعات بطول n و V1 مساحة صفرية لـ V2 ، فإن (V2) هي مساحة صفرية لـ V1.

دع U∩V يشير إلى مجموعة المتجهات التي تنتمي إلى كل من U و V ، ثم U∩V هي فضاء فرعي.

دع U⊕V يشير إلى الفضاء الجزئي الذي يتكون من مجموعة من جميع التركيبات الخطية للنموذج a u + b v ، حيث u є U ، v V ، ab هي أرقام.

مجموع أبعاد المساحات الجزئية U∩V و U⊕V يساوي مجموع أبعاد الفئتين الفرعيتين U و V.

دع U2 هي المساحة الفرعية الصفرية لـ U1 و V2 المساحة الصفرية لـ V1. ثم U2∩V2 هي المساحة الصفرية لـ U1⊕V1.

خاتمة

تتناول الورقة المفاهيم الأساسية للمساحات المتجهة ، والتي غالبًا ما تُستخدم في بناء نماذج لتحليل أنظمة التشفير والترميز والإخفاء ، والعمليات التي تحدث فيها. لذلك في معيار التشفير الأمريكي الجديد ، يتم استخدام الفراغات الأفينية ، وفي التوقيعات الرقمية على المنحنيات الإهليلجية ، سواء الفراغات الأفينية أو

الإسقاطية (لتسريع معالجة نقاط المنحنى).

نحن لا نتحدث عن هذه المساحات في العمل (لا يمكنك تجميع كل شيء في كومة واحدة ، كما أنني أقوم بتحديد حجم النشر) ، لكن ذكر هذا لم يذهب سدى. يعتقد المؤلفون الذين يكتبون عن وسائل الحماية ، حول خوارزميات التشفير بسذاجة أنهم يفهمون تفاصيل الظواهر الموصوفة ، لكن فهم المساحات الإقليدية وخصائصها ينتقل دون أي تحفظات على المساحات الأخرى ، مع خصائص وقوانين مختلفة. يتم تضليل جمهور القراء بشأن بساطة المواد وإمكانية الوصول إليها.

يتم إنشاء صورة خاطئة للواقع في مجال أمن المعلومات والمعدات الخاصة (التكنولوجيا والرياضيات).

بشكل عام ، لقد قدمت المبادرة ، فكم محظوظون للقراء بالحكم.

الأدب

1. Avdoshin S.M.، Nabebin A.A. الرياضيات المنفصلة. الجبر المعياري والتشفير والترميز. - م: مطبعة DMK ، 2017. -352 ص.

2. أكيموف أوي. الرياضيات المتقطعة ، المنطق ، المجموعات ، الرسوم البيانية - م: مختبر ، قاعدة. Zn. ، 2001. -352 ص.

3. أندرسون د. الرياضيات المتقطعة والتوافقية) ، موسكو: ويليامز ، 2003 ، 960 ص.

4. Berlekamp E. نظرية الترميز الجبري. - م: مير ، 1971. - 478 ص.

5. Vaulin A.E. الرياضيات المتقطعة في مشاكل أمن الحاسوب. H 1- SPb .: VKA im. أ. Mozhaisky، 2015.219 ص.

6. Vaulin A.E. الرياضيات المتقطعة في مشاكل أمن الحاسوب. ح 2- SPb .: VKA im. أ. Mozhaisky، 2017. -151 ص.

7. Gorenstein D. مجموعات بسيطة محدودة. مقدمة لتصنيفهم. - م: مير ، 1985. - 352 ص.

7. Graham R.، Knut D.، Ptashnik O. Concrete mathematics. Foundations of Informatics.-M: Mir، 1998.-703 p.

9. إليزاروف ف. حلقات النهاية - م: هيليوس ARV ، 2006. - 304 ص.

إيفانوف ب. الرياضيات المتقطعة: الخوارزميات والبرامج- م: لاب باز. المعرفة ، 2001.280 ص.

10. يروساليمسكي يا م. الرياضيات المنفصلة: النظرية ، المشاكل ، التطبيقات- م: Vuzovskaya kniga ، 2000.-280 ص.

11. كورن جي ، كورن ت. كتيب الرياضيات للعلماء والمهندسين.- M: Nauka ، 1973. - 832 ص.

12. Lidl R. ، Niederreiter G. الحقول المحدودة: في مجلدين ، المجلد. 1 -M: Mir ، 1988. - 430 ص.

13. Lidl R. ، Niederreiter G. الحقول المحدودة: في مجلدين. المجلد. 2 -M: مير ، 1988. - 392 ص.

14. Lyapin E.S. ، Aizenshtat A.Ya. ، Lesokhin M.M. ، تمارين على نظرية المجموعات. - موسكو: Nauka ، 1967. -264 p.

15. تمتم ف. أساسيات نقل معلومات مكافحة التشويش. -ل. Energoatomizdat ، 1990 ، 288 ص.

16. نببين أ. الرياضيات المتقطعة. - م: مختبر. المعرفة ، 2001.280 ص.

17. Novikov F.A. الرياضيات المتقطعة للمبرمجين. - SPb .: Peter، 2000.-304 p.

18. روزنفيلد ب. مساحات متعددة الأبعاد .- M: Nauka ، 1966. -648 ص.

18. قاعة م. نظرية المجموعات .- م: يزد. IL ، 1962. - 468 ص.

19. شيخانوفيتش يو. المجموعات ، الحلقات ، المشابك. - SPb .: Kirtsideli، 2006. - 368 ص.

20. شنيبرمان ل. مسار الجبر ونظرية الأعداد في المسائل والتمارين: في ساعتين الجزء 2. -منج: فيش. shk. ، 1987. - 256 ص.

21. شنيبرمان إل بي مجموعة مسائل في الجبر ونظرية الأعداد - مينسك: Design PRO، 2000. -240 p.

مسافات المتجهات