أولمبياد الرياضيات. مسابقة William Lowell Putnam في الرياضيات هي أولمبياد الرياضيات للطلاب الجامعيين الذين يدرسون في جامعات (كليات) في الولايات المتحدة وكندا. كان ويليام لويل بوتنام ، المحامي والمصرفي الأمريكي ، مصدر إلهام للأولمبياد. تقام من قبل الجمعية الرياضية الأمريكية سنويًا منذ عام 1938. تُمنح الجوائز النقدية لأفضل خمس فرق جامعية (جائزة المركز الأول 25000 دولار) وللطلاب الخمسة والعشرين الأوائل في المسابقة الفردية (جائزة المركز الأول 1،000 دولار).
- ويكيبيديا
يستمر الأولمبياد مرتين لمدة 3 ساعات ، إجمالي 12 مشكلة ، 10 نقاط لكل منها. متوسط العلامة التي يحصل عليها الطلاب هو 1 أو 2. لنفكر في واحدة من أصعب المشاكل من هذا الأولمبياد.
اختر 4 نقاط عشوائية على الكرة. ما هو احتمال أن يكون مركز الكرة داخل رباعي السطوح تكونه هذه النقاط؟
لنفكر في نسخة ثنائية الأبعاد من هذه المشكلة.
ضع في اعتبارك 3 نقاط عشوائية على دائرة. ما احتمال أن يكون مركز الدائرة داخل المثلث؟
يمكنك تثبيت نقطتين واللعب بالنقطة الثالثة. من السهل أن نرى أن هناك منطقة معينة ، إسقاط النقاط المثبتة بالنسبة للمركز ، والتي يجب أن تقع داخلها النقطة الثالثة من أجل تلبية الشرط. وهكذا تنقسم الدائرة إلى 4 أجزاء. احتمال الوصول إلى النقطة الثالثة في القوس يساوي نسبة طول القوس إلى المحيط. ما هو طول القوس؟
يتراوح الاحتمال من 0 إلى 0.5 اعتمادًا على موقع أول نقطتين.
ما هو متوسط الاحتمال؟
دعونا نصلح النقطة الأولى ونلعب بالنقطة الثانية. سيتنوع الاحتمال من 0 إلى 0.5 ، أي أن متوسط الاحتمال سيكون 0.25.
حل مشكلة دائرة وثلاث نقاط - 25٪.
هل يمكن نقل هذا النهج إلى كرة و 4 نقاط؟
نحدد ثلاث نقاط ونلعب بالنقطة الرابعة. لنرسم إسقاطات للنقاط الثابتة بالنسبة إلى المركز ونقسم الكرة إلى 8 أجزاء بالمستويات.
سيكون مركز الكرة داخل رباعي الوجوه إذا سقطت النقطة الرابعة على المثلث الكروي الأخضر ، وهو "عكس" النقاط الثابتة بالنسبة إلى المركز. ما هو متوسط حجم القسم الأخضر؟
// لا تفكر في أي شيء آخر ، ارتجل.
يمكنك العودة إلى الحالة ثنائية الأبعاد والتفكير في مصدر 1/4. من أين تأتي 4؟
يمكنك الانتقال من 3 نقاط عشوائية في دائرة إلى مشكلة أخرى. دعونا نختار قطرين عشوائيين. بعد ذلك ، لكل قطر ، نرمي عملة معدنية ، وبالتالي نختار مكان النقطة Pi ، ومن أي طرف من القطر. ثم نختار بشكل عشوائي النقطة الثالثة على الدائرة.
ثم خطوة أخرى ماكرة.
لنحدد أولاً النقطة الثالثة عشوائياً ثم نختار قطرين عشوائياً. سيكون لدينا 4 خيارات لوضع النقاط P2 P1:
ولكن واحد فقط من هذه الخيارات الأربعة يحتوي على حل عندما يكون مركز الدائرة داخل المثلث:
أيهما نختار موضع بداية عشوائي للنقطة الثالثة وقطرين ، فإن أحد الخيارات فقط يحتوي على مركز الدائرة داخل المثلث:
هكذا قمنا بإعادة صياغة المشكلة:
مع الكرة ، نحصل على 8 خيارات لاختيار النقاط ، بعد تحديد النقطة الأولى واختيار ثلاثة أقطار:
1 فقط من 8 يفي بشرط أن يكون مركز الكرة داخل رباعي الوجوه:
الإجابة: 1/8
- الجبر الخطي المتشدد موجود هنا: التقاط الأصل بنقاط عشوائية: تعميمات مشكلة بوتنام
- جميع مشاكل أولمبياد 1992: مسابقة ويليام لويل بوتنام الرياضية الثالثة والخمسون
السبت 5 ديسمبر 1992