بعض المسائل الحسابية غير قابلة للحل وهي ليست بهذا السوء

قم ببناء مثمن محدب بأربع زوايا قائمة.



من المحتمل أن حقيقة أنني أعطي مثل هذه المهام تقول الكثير عني كمدرس. أشاهد الطلاب وهم يحاولون ترتيب الزوايا الصحيحة باستمرار. عندما يفشلون ، فإنهم يحاولون تداخل الزوايا القائمة. وفي حالة الفشل مرة أخرى ، يقومون بإدخالها بشكل عشوائي في المضلع. حشرجة أدمغتهم أثناء جهد التفكير هي موسيقى لآذان المعلم.



ثم ينتابهم الشك ويبدأون في طرح الأسئلة. "لقد ذكرت الزوايا القائمة. ربما كنت تعني حقًا ثلاث زوايا؟ "،" هل قصدت بالتأكيد مضلعًا محدبًا؟ "،" أربع زوايا قائمة ، في الواقع ، تشكل مستطيلًا. كيف يمكننا الحصول على أربعة جوانب أخرى في الشكل الثماني؟ " أستمع بعناية ، وأومئ برأسك ، وأؤكد تخميناتهم.



أخيرًا ، يسأل أحدهم سؤالًا لم يجرؤ أحد على طرحه ، السؤال الذي كنت أنتظره: "مرحبًا ، هل هذا ممكن؟"



هذا السؤال لديه القدرة على تغيير طريقة تفكيرك في الرياضيات. يجب على أولئك الذين فكروا بشكل ضيق في ظروف معينة أن يفكروا الآن بشكل أوسع حول كيفية توافق هذه الظروف معًا. يجب على أولئك الذين يعملون داخل النظام اتخاذ خطوة إلى الوراء ودراسة النظام نفسه. طوال تاريخ الرياضيات ، تم طرح هذا السؤال عدة مرات ، وقد حير من حل مشكلة تربيع الدائرة للالتفاف حول مدينة كونيجسبيرج . وهذا السؤال يسمح لنا بصياغة ماهية الرياضيات وكيف نفهمها.



على سبيل المثال ، إيجاد مثمن بخصائص معينة يختلف كثيرًا عن مهمة إثبات عدم وجود مثل هذا الشكل الثماني. بتجربة مثمنات مختلفة ، قد نجد واحدة بأربع زوايا قائمة.









هذا ليس مثالا. في الواقع ، هذا الشكل الثماني لا يحتوي على أربع زوايا قائمة.



لكن الحظ لا يلعب أي دور في إثبات أن مثل هذا المثمن لا يمكن أن يوجد. إنها تتطلب معرفة عميقة ، ليس فقط بالمضلعات ، ولكن بالرياضيات نفسها. لتفسير الاستحالة ، علينا أن نفهم أن مجرد افتراض وجود كائن لا يثبت وجوده. تعيش التعريفات والخصائص والنظريات الرياضية تحت ضغط من ترابطها. في محاولة لتمثيل ثماني أضلاع بأربع زوايا قائمة ، نحن ضمن هذه القواعد المترابطة.



ولكن لكي ندرك أن الشكل الثماني مستحيل ، نحتاج إلى التراجع والنظر إلى الصورة الكبيرة. ما هي المبادئ الرياضية والهندسية التي يمكن أن يخالفها مثمن بأربع زوايا قائمة؟ أفضل مكان للبدء هنا هو مجموع زوايا نظرية المضلع.



مجموع الزوايا الداخلية من N- يتم تحديد مضلع جانب بالمعادلة:

S = ( ن - 2) × 180º

هذا حدث لأن كل N- مضلع جانب ويمكن أن يكون قطع في ( ن - 2) مثلثات، مجموع الزوايا الداخلية من كل منها 180º.



في حالة المثمن ، هذا يعني أن مجموع زواياه الداخلية (8-2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. ثم إذا كانت أربعة من أركانها مستقيمة ، أي 90 درجة لكل منها ، فهذا يساوي 4 × 90 درجة = 360 درجة من إجمالي الزوايا. هذا يعني أن 1080º - 360º = 720º تبقى للأركان الأربعة المتبقية للشكل الثماني.



هذا يعني أن متوسط ​​الزوايا الأربع المتبقية يجب أن يكون:

$$

$$\frac{720º}{4} = 180º$$

لكن الزوايا الداخلية لمضلع محدب يجب أن تكون أقل من 180 درجة ، وهو أمر مستحيل. لا يمكن أن يوجد مثمن محدب بأربع زوايا قائمة.



يتطلب إثبات الاستحالة بهذه الطريقة اتخاذ خطوة إلى الوراء ورؤية كيفية وجود قواعد رياضية مختلفة ، على سبيل المثال ، معادلة مجموع زوايا المضلع وتعريف المضلع المحدب ، تحت ضغط متبادل. وبما أن براهين الاستحالة تعتمد على تفكير أوسع عبر مجموعة من القواعد ، فغالبًا ما توجد عدة طرق لبناء مثل هذا الدليل.



لنعد إلى ملاحظتنا السابقة أن أربع زوايا قائمة تشكل مستطيلاً.









الزوايا الخارجية للمضلع.



إذا كان الشكل الثماني يحتوي على أربع زوايا قائمة ، فعند الدوران حول هذه الزوايا فقط ، سنقوم بعمل دائرة كاملة ، كما لو كنا نسير حول المستطيل بالكامل. يقودنا هذا الفكر إلى قاعدة تقدم دليلاً آخر على الاستحالة. من المعروف أن مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب دائمًا 360 درجة. بما أن الزاوية الخارجية للزاوية القائمة هي أيضًا زاوية قائمة ، فإن الزوايا الأربع القائمة لدينا تشكل 360 درجة بالكامل لمجموع الزوايا الخارجية للشكل الثماني. وهذا يعني أن بقية الزوايا الأربع لم يبق منها شيء ، وقد أثبتنا مرة أخرى أن مثل هذا الشكل الثماني مستحيل.



إثبات استحالة شيء ما هو حدث رياضي قوي. إنه يغير وجهة نظرنا ، ننتقل من إطاعة القواعد إلى التحكم في القواعد. ولكي نتحكم في القواعد ، نحتاج أولاً إلى فهمها. يجب ألا نعرف فقط كيفية تطبيقها ، ولكن يجب أن نعرف أيضًا المواقف التي لا تنطبق فيها. واكتشف أيضًا المواقف التي قد تتعارض فيها القواعد مع بعضها البعض. في عملية دراسة المثمن ، حددنا العلاقة بين المضلعات والتحدب والزوايا القائمة ومجموع الزوايا. وهذا يؤكد أن S = ( n - 2) × 180º ليست مجرد صيغة: إنها أحد الشروط في عالم الظروف المتضاربة.



يمكن أن تساعدنا أدلة الاستحالة على فهم جميع مجالات الرياضيات بشكل أفضل. في المدرسة ، غالبًا ما تبدأ دروس نظرية الاحتمالات بإلقاء العديد من العملات المعدنية الخيالية. أدعو الطلاب إلى إنشاء عملة احتيالية تميل إلى الظهور على الوجه أو ذيول ، والتي لها الخاصية التالية: عند قلب عملة معدنية مرتين ، من المرجح أن تكون نتائج التقلبين مختلفة عن نفس الشيء. بعبارة أخرى ، من المرجح أن ترمي الرؤوس والذيل أكثر من الرؤوس والذيل أو ذيول الذيل.



بعد التجارب والفشل العقلي ، يتوصل الطلاب إلى فرضية مثيرة للاهتمام: النتائج المختلفة ليست أكثر احتمالية من نفس الشيء. يكشف الجبر عن هذا ويشير إلى التناظر الأساسي.



لنفترض أن العملة تحولت نحو الرؤوس. سوف نطلق على احتمال الحصول على رؤوس$$$\frac{1}{2} + k$أين $$$0 < k ≤ \frac{1}{2}$... حقيقة ان$$$k > 0$، يضمن أن الرؤوس أكثر احتمالًا من ذيول مع احتمال $$$\frac{1}{2} – k$نظرًا لأن مجموع الاحتمالين يجب أن يكون 1.



إذا قلبنا عملة معدنية مرتين ، فإن احتمال الحصول على رأسين أو ذيلتين هو

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2}$$

نضيف هنا احتمال الحصول على رأسين (الجانب الأيسر) مع احتمال الحصول على ذيلين (الجانب الأيمن). باستخدام الجبر ، يمكننا تبسيط احتمال الحصول على نفس النتيجة في كلتا اللفتين:

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} – k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2k^{2}$$

...

بقدر ما$$$k > 0$، نحن نعلم ذلك $$$\frac{1}{2} + 2k^2 > \frac{1}{2}$$ ، مما يعني أنه من المرجح أن يكون للرمي نفس النتائج. في الواقع ، نرى ذلك حتى لو$$$k = 0$ (العملة ليست احتيالية) ، واحتمال نفس النتائج $$$\frac{1}{2}$، بسبب احتمال حدوث نتائج مختلفة للرمي أيضًا $$$\frac{1}{2}$... لن تكون النتيجة نفسها أبدًا أقل احتمالية من النتائج المختلفة.



كما في حالة مشكلة المضلع ، نرى ضغوطًا رياضية متنافسة في العمل: تغيير احتمال الحصول على وجه واحد من العملة يغير احتمال الحصول على الجانب الآخر ، وهذا الترابط يتحكم في مساحة الاحتمالات لنتائج رميتين. لقد كشفنا هذا الضغط بمحاولة تحقيق المستحيل.



يمكن أن تتعرض أي منطقة في الرياضيات لمثل هذه الضغوط. حاول إيجاد ستة أعداد صحيحة متتالية يصل مجموعها إلى 342 ، وسيقودك إصرارك إلى فهم أعمق للتكافؤ. (حقيقة أن الأعداد الصحيحة المتتالية تصبح فردية بالتناوب بل وتؤثر على كيفية مجاميعها). إن العثور على كثير حدود تكعيبي مع معاملات أعداد صحيحة لها ثلاثة جذور غير حقيقية يعلمك أهمية اقتران الأعداد المركبة - أزواج من الأعداد المركبة والمنتج و مجموع الذي هو دائما حقيقي. وإذا حاولت كتابة معين غير مستطيل في دائرة ، فسوف تكتشف خاصية مهمة للأشكال الرباعية الدورية - يجب أن يكون مجموع الزوايا المقابلة للشكل الرباعي ، الذي تقع رؤوسه على الدائرة ، 180 درجة.



تسمح لنا مواجهة المستحيل باستكشاف حدود عوالمنا الرياضية. المستحيل بحد ذاته هو نوع من التعميم ، لذلك سيكون من الطبيعي الاستمرار في التعميم: لا يمكن أن يكون للمثمن أربع زوايا قائمة ، لكن ماذا عن عشري؟ ماذا عن مضلع محدب مع n > 4 جوانب؟ أسئلة مثل هذه تصطدم بحدود عوالمنا الرياضية وتعمق فهمهم.



إذا دفعنا الحدود إلى أبعد من ذلك ، فقد يلهم المستحيل إنشاء عوالم رياضية جديدة. لإثبات استحالة تربيع الدائرة(هذه المشكلة عمرها ألفي عام على الأقل) ، هناك حاجة إلى نظرية حديثة للأعداد المتسامية ، والتي لا يمكن أن تكون جذور العديد من الحدود الصحيحة. لحل مشكلة سبعة جسور كونيجسبيرج ، حول أويلر الجزر والجسور إلى رؤوس وحواف ، مما أدى إلى ولادة مساحات شاسعة من نظرية الرسم البياني ونظرية الشبكة ، بالإضافة إلى العديد من تطبيقاتها. أدى أخذ الجذر التربيعي للرقم -1 إلى إنشاء نظام حسابي جديد تمامًا . وقام المنطق كورت جودل بتغيير الرياضيات إلى الأبد ، ليثبت أنه من المستحيل إثبات أن كل ما هو حقيقي صحيح.



لذا في المرة القادمة التي تواجه فيها مشكلة في الرياضيات ، اسأل نفسك ، "هل هذا ممكن؟" يمكن أن يمنحك مواجهة الاستحالة فهمًا أعمق لما هو ممكن. عند القيام بذلك ، يمكنك حتى إنشاء مجالات جديدة في الرياضيات.

تمارين

1. أوجد مساحة المثلث بأطوال أضلاعه 46 و 85 و 38.



2. دعنا نكتب$$$f (x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d$... تجد مثل هذا كله$$$b$و $$$c$ و $$$d$الذي $$$f \left(\frac{1}{4}\right) = 0$...



3. ابحث عن مربع كامل تنتمي فيه جميع الأرقام المكونة له إلى المجموعة {2، 3، 7، 8}.

الإجابات

---

إعلان

مهما كانت احتياجاتك ، نرحب دائمًا بالخوادم ذات الأسعار المعقولة والموثوقة . حتى بالنسبة للحسابات الرياضية المعقدة ، فإن الحد الأقصى للتكوين هو 128 نواة لوحدة المعالجة المركزية ، وذاكرة وصول عشوائي 512 جيجابايت ، و 4000 جيجابايت من ذاكرة الوصول العشوائي.