هناك حقيقة غامضة حول التحولات الخطية: فبعضها ، أي التحجيم والترجمة غير المنتظمين ، يميز لسبب ما بين المتجهات "العادية" والقياسات. عندما نقوم بتحويل متجه "عادي" بواسطة مصفوفة ، عندها يجب تحويل القواعد الطبيعية لسبب ما بواسطة مصفوفة مقلوبة عكسية. كيف نفهم هذا؟

بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة ، يمكنك التأكد من أن المصفوفة المنقولة المعكوسة تحافظ على عمودية المستويات العادية على مستوياتها المماس. إلى حد ما ، هذا الدليل كافٍ ، لكنه يفتقد قصة أعمق وأكثر إثارة للاهتمام حول الهندسة وراء كل ذلك. هذه هي القصة التي أريد أن أرويها في المقالات القليلة القادمة.

الوحدات والقياس

إليك ملخص سريع قبل أن نتعمق في جوهر المقالة. ضع في اعتبارك مقياس موحد قديم جيد (عامل واحد عبر جميع المحاور). من الصعب التفكير في تحول غير ضار - إنه مجرد ضرب كل المتجهات بنفس العدد.

ولكن عند الفحص الدقيق ، هناك شيء ليس تافهًا تمامًا يحدث هنا. تحمل كميات معينة معها "أبعادًا" مادية أو "وحدات" مثل الأطوال والمساحات والأحجام. عند القياس ، تتغير هذه القيم وفقًا لوحداتها. تكون بعض القيم "بلا أبعاد" بشكل عام ولا تتغير عند قياسها.

كمثال ، دعنا نسرد كل السلوك المحتمل للوحدات عند القياس في الفضاء ثلاثي الأبعاد. نشير إلى عامل المقياس كـ$$$a>0$... ثم:

• لا تتغير الأرقام التي لا أبعاد لها ، بمعنى آخر ، يتم ضربها$$$a^0$...
• الأطوال مضروبة في$$$a$...
• يتم ضرب المناطق في$$$a^2$...
• يتم ضرب الأحجام في$$$a^3$.
  
  : , :
• $$$1\over{a}$.
• $$$1\over{a^2}$.
• $$$1\over{a^3}$.
  
  , , . 3D- , , , .

, ( ) , : , ( ), , - . , -3 3. , $$$k$- , $$$a^k$.

( $$$\pm 4$ , . , 3D.)

, - . ? ? ? -, .

, . , . , Geometric Algebra for Computer Science. .

— , , , , . $$$k$-, $$$k$ — . , — . .

— ( ) , . , , . , .

, , . , . , . , , , .



, — , , . , , , , .

. , , . , , "" "", "" "". , , .

́ , . , $$$k$- . .

$$$k$-

, . $$$v=(x, y, z)$, , $$$v$ :

$$

$$v=x{\bf e_x}+y{\bf e_y}+z{\bf e_z}$$

$$${\bf e_x}$, $$${\bf e_y}$, $$${\bf e_z}$ $$, $$$y$, $$$z$. $$$B$ :

$$

$$B=p{\bf e_{yz}}+q{\bf e_{zx}}+r{\bf e_{xy}}$$

$$${\bf e_{xy}}$ — , $$$xy$. $$${\bf e_{yz}}$ $$${\bf e_{zx}}$ . , , . " " $$$(p, q, r)$, .



:

$$

$$T=t{\bf e_{xyz}}$$

, 3D , : "" $$$(xyz)$. — $$${\bf e_{xyz}}$ .

, : ( 1), ( 2) ( 3). 0. , , , $$$\wedge$. , , :

$$

$${\bf e_x}\wedge{\bf e_y} = {\bf e_{xy}}$$

, , . , ( ).

, "" . , , . , .

, , .

$$

$${\bf e_x}\wedge{\bf e_y}\wedge{\bf e_z} = {\bf e_{xy}}\wedge{\bf e_z}={\bf e_{xyz}}$$

" ", , , .

, . . $$$a$ :

$$

$$(au)\wedge v=u\wedge (av) = a(u\wedge v)$$

, . $$$u, v$ :

$$

$$u\wedge v=-(v\wedge u)$$

. -, : $$$v\wedge v=0$. , . , $$$u\wedge v=0$ $$$u$ $$$v$ . , $$$u\wedge v\wedge w=0$ $$$u, v, w$ .

3 . , .

$$$k$-

, , — , — . ?

, , - . $$$a>0$ , $$$a, a^2, a^3$ . , , .

, :

$$

$$v\mapsto Mv$$

$$

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ ay \\. az \end{bmatrix} = av$$

$$$v$ , $$$x, y, z$, , $$$a$ , , .

? ( ), . . , , :

$$

$$\begin{aligned} B &= u \wedge v \\ (u \wedge v) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \\ &= (au) \wedge (av) \\ &= a^2 (u \wedge v) \\ &= a^2 B \end{aligned}$$

! , $$$a$, $$$a^2$, .

, . , - $$$a^3$. :

$$

$$\begin{aligned} T &= (u \wedge v \wedge w) \\ (u \wedge v \wedge w) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \wedge (Mw) \\ &= (au) \wedge (av) \wedge (aw) \\ &= a^3 (u \wedge v \wedge w) \\ &= a^3 T \end{aligned}$$

. , ?

, . 3 $$$x$, . :

$$

$$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

: $$$x$ 3, $$$y, z$ . , : , $$$x$ , $$$yz$ — .



? . , "" . $$$x$ , . : , $$$yz$, , , $$$x$, .



, . , , :

$$

$$B = p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}$$

$$$M$ , . $$$M$ :

$$

$$\begin{aligned} {\bf e_{yz}} = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_y}) \wedge (M{\bf e_z}) = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} = {\bf e_{yz}} \\ {\bf e_{zx}} = {\bf e_z} \wedge {\bf e_x} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_z}) \wedge (M{\bf e_x}) = {\bf e_z} \wedge 3{\bf e_x} = 3{\bf e_{zx}} \\ {\bf e_{xy}} = {\bf e_x} \wedge {\bf e_y} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_x}) \wedge (M{\bf e_y}) = 3{\bf e_x} \wedge {\bf e_y} = 3{\bf e_{xy}} \end{aligned}$$

: $$$\bf e_{yz}$ , $$$\bf e_{zx}$ $$$\bf e_{xy}$ 3, $$$x$.

, $$$M$ $$$B$:

$$

$$B \mapsto p \, {\bf e_{yz}} + 3q \, {\bf e_{zx}} + 3r \, {\bf e_{xy}}$$

, , $$$B$ , :

$$

$$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 3q \\ 3r \end{bmatrix}$$

, , . : $$$M$ .

: $$$M$ :

$$

$$M^{-T} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

?

, — $$$M$.

$$$\det M$. ( $$$M$ , $$$\det M$). $$$M$ . , , !

— , . .

$$$n\times n$ . $$$i$- $$$j$- :

1. $$$n\times n$ $$$i$ $$$j$. $$$(n-1)\times (n-1)$.
2. .
3. $$$(-1)^{i+j}$, $$$i+j$ . !

$$$n\times n$, .

, ? $$$p \, {\bf e_{yz}}$. $$$yz$, , $$$M$ $$$y$ $$$z$. $$$1,1$ $$$M$ $$$2\times2$, $$$M$ $$$y$ $$$z$. , , $$$yz$!

- , $$${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ , , $$$M$ . , , $$$M$ . , , .

( , . $$${\bf e_{xz}}$ $$${\bf e_{zx}}$. .)

, , $$$n$ $$$(n-1)$- . , $$$k$- $$$(n-k)$- , $$$n-k$ .

. . : 3D. , $$$(p, q, r)$ — $$$(x, y, z)$ !

. , . , $$$B$ :

$$

$$B\wedge v=0$$

$$$v$, $$$B$ , . , , , $$$B$ $$$v$ .

:

$$

$$\begin{gathered} (p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}) \wedge (x \, {\bf e_x} + y \, {\bf e_y} + z \, {\bf e_z}) = 0 \\ (px \, {\bf e_{yzx}} + qy \, {\bf e_{zxy}} + rz \, {\bf e_{xyz}}) = 0 \\ (px + qy + rz) {\bf e_{xyz}} = 0 \\ px + qy + rz = 0 \\ \end{gathered}$$

. , , (, $$${\bf e_{yz}} \wedge {\bf e_y} = 0$). $$$\bf e_{xyz}$, , . . , $$$\bf e_{xyz}$ .

$$$(p, q, r)$ $$$(x, y, z)$! , $$$n\cdot v = 0$ $$$n=(p, q, r)$.

, $$$(p, q, r)$ $$${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ $$${\bf e_x}, {\bf e_y}, {\bf e_z}$. , . , . .

, - . — . ( ) " ".

, . , "" , . ? , , ? , , ( ). .

: , , -3 3. , $$$k$- $$$k$من 0 إلى 3. ولكن ماذا عن وحدات المتجه بدرجات مقياس سالبة؟ أنها لا وجود لها؟ إذا كان الأمر كذلك، ما هي؟

في الحلقة التالية ، سنتعمق أكثر ونزيد من تعقيد قصتنا الهندسية.