عندما تصبح الرياضيات صعبة للغاية

لطالما حاول علماء الرياضيات التعود على حقيقة أن بعض المشكلات ، من حيث المبدأ ، لا يمكن حلها

نحب أن نقول أن كل شيء ممكن. في كتاب Jaster Norton "Cute and the Magic Booth" ، يرفض الملك إخبار ميلو أن هدفه بعيد المنال ، لأن "الكثير يصبح ممكنًا إذا كنت لا تعرف أنه مستحيل" [على الرغم من أن هذه هي كلمات الشخصيات الأخرى في الكتاب / تقريبًا. ترجمة. ]. لكن في العالم الحقيقي ، بعض الأشياء مستحيلة حقًا ، ويمكننا إثبات ذلك بالرياضيات.



يستخدم الناس مصطلح "مستحيل" بعدة طرق مختلفة. يمكنه وصف الأشياء غير المتوقعة فقط ، مثل العثور على مجموعتين متطابقتين من البطاقات المختلطة. يمكنه وصف المهام التي تكاد تكون مستحيلة بسبب نقص الوقت أو المكان أو الموارد ، مثل إعادة كتابة مكتبة الكونغرس بالكامل يدويًا. أجهزة مثل آلات الحركة الدائمة مستحيلة ماديًا ، لأن وجودها سيكون مخالفًا لفهمنا للفيزياء.



الاستحالة الرياضية مختلفة. نبدأ بافتراضات لا لبس فيها ، وباستخدام التفكير والمنطق الرياضي ، نستنتج أن بعض النتائج مستحيلة. لن يؤدي أي قدر من الحظ أو المثابرة أو الوقت أو المهارة إلى جعل المهمة قابلة للتنفيذ. تاريخ الرياضيات حافل ببراهين الاستحالة. يعتبر العديد من هذه النتائج الأكثر بروزًا للرياضيات. ولكنها لم تكن كذلك دائما.



كانت العقوبة ، التي ربما تكون أول دليل على الاستحالة ، صارمة. يعتقد المؤرخون أنه في القرن الخامس قبل الميلاد. هيباسوس ميتابونت، أحد أتباع فيثاغورس ، اكتشف أنه من المستحيل العثور على قطعة مستقيمة يمكنها قياس طول ضلع وطول قطري لخماسي منتظم. نقول اليوم أن طول قطر البنتاغون المنتظم بطول ضلع 1 هو النسبة الذهبية ، ϕ = 1/2 (1 + √5) - هو رقم غير نسبي. كان اكتشاف هيباسوس تحديًا لعقيدة فيثاغورس ، "كل شيء هو رقم" ، لذلك تقول الأساطير أن هيباسوس إما غرق في البحر ، أو طُرد ببساطة من صفوف الفيثاغورس.



بعد أكثر من قرن ، رفع إقليدس الخط والدائرة كمنحنيات أساسية للهندسة. بعد ذلك ، رسمت أجيال عديدة من المقاييس الهندسية جميع أنواع الأشياء - زوايا التقسيم ، ورسم الخطوط العمودية ، وما إلى ذلك - فقط بمساعدة البوصلات والمسطرة. ومع ذلك ، فإن بعض الهياكل ، التي بدت بسيطة ، حيرت مقاييس الهندسة اليونانية ، واكتسبت مكانة أسطورية نتيجة لذلك ، وأزعجت علماء الرياضيات لأكثر من 2000 عام. هذه هي مشاكل تقسيم الزاوية العشوائية إلى ثلاثة أجزاء ، وبناء جانب من مكعب ، حجمه ضعف حجم المضلعات المعطاة ، وإنشاء جميع المضلعات المنتظمة ، وكذلك إنشاء مربع بمساحة مساوية لمساحة دائرة معينة.







على الرغم من أن هذه المشكلات ذات طبيعة هندسية ، إلا أن الدليل على عدم إمكانية حلها ليس كذلك. مطلوب رياضيات جديدة لإثبات استحالة حلها.



في القرن السابع عشر ، توصل رينيه ديكارت إلى اكتشاف جوهري: إذا قصرنا أنفسنا على البوصلات والمسطرة فقط ، فلا يمكننا رسم أجزاء من أي طول. إذا بدأنا بخط طوله 1 ، يمكننا فقط إنشاء خطوط يمكن التعبير عن طولها باستخدام الأعداد الصحيحة والجمع والطرح والضرب والقسمة والجذر التربيعي (مثل النسبة الذهبية).



لذلك ، فإن إحدى الاستراتيجيات لإيجاد دليل على استحالة حل مشكلة هندسية - أي أنه لا يمكن بناء كائن معين - ستكون إظهار أن طول جزء معين من الشكل النهائي لا يمكن التعبير عنه بهذه الطريقة. ولكن لإظهار هذا بدقة ، كان الجبر الناشئ آنذاك مطلوبًا.



بعد قرنين من الزمان ، استخدم مواطن ديكارت ، بيير لوران فانزيل ، كثيرات الحدود (مجموع المعاملات والمتغيرات التي تم رفعها إلى قوة) وجذورها (المتغيرات التي تجعل من كثير الحدود يساوي الصفر) لمهاجمة هذه المشاكل الكلاسيكية. على سبيل المثال ، في مشكلة مضاعفة مكعب ، يجب أن يكون جانب المكعب الذي يبلغ حجمه ضعف حجم وحدة المكعب مساويًا لـ$$$\sqrt[3]{2}$ . هذا هو جذر كثير الحدود ׳-2 لأن$$$(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0$.



في عام 1837 ، أثبت Wanzel أنه لكي يتم إنشاء مقطع باستخدام بوصلة ومسطرة ، يجب أن يكون طوله هو جذر كثير الحدود الذي لا يمكن تحليله إلى عوامل ، وقوته (أعلى قوة للمتغير) هي قوة اثنين. على سبيل المثال، النسبة الذهبية هي جذر درجة متعدد الحدود الثاني س²- س - 1. ولكن س³-2 هو متعدد الحدود من الدرجة الثالثة، وذلك$$ لا يمكن بناؤها. لذا خلص فانتزل إلى أن مضاعفة المكعب أمر مستحيل. بطريقة مماثلة ، أثبت أنه من المستحيل استخدام الأدوات الكلاسيكية لتقسيم أي زاوية أو إنشاء مضلعات منتظمة معينة - على سبيل المثال ، مضلع من سبعة جوانب. ومن المثير للاهتمام ، تم نشر البراهين الثلاثة للاستحالات في نفس الصفحة. نظرًا لأن إسحاق نيوتن وألبرت أينشتاين كان لهماAnnus mirabilis(سنوات من المعجزات) ، يمكن تسمية هذا الوضع pagina mirabilis - صفحة من المعجزات. يتطلب إثبات استحالة المشكلة المتبقية ، تربيع الدائرة ، شيئًا جديدًا. في عام 1882فرديناند فون ليندمان$\sqrt[3]{2}$







أثبت النقطة الأساسية - وهي أن الرقم π لا يمكن بناؤه - بإثبات تجاوزه ، أي أنه ليس جذرًا لأي متعدد الحدود.



يمكن أن تُعزى هذه المشكلات الكلاسيكية إلى السمعة السيئة واعتبارها صفارات الإنذار التي تغري علماء الرياضيات بالانهيار على الصخور الحادة للاستحالة. لكني أعتبرهم مصدر إلهام لأجيال من المفكرين المبدعين.



الأمر نفسه ينطبق على المهمة المستحيلة الأحدث الناشئة عن فعل بسيط مثل عبور الجسر. تخيل أنك تعيش في بيتسبرغ ، "مدينة الجسور" ، مثل العديد من طلابي. قد يتساءل أي راكب دراجة مغامر عما إذا كان يمكن لبدء رحلة من المنزل عبور كل جسر من الجسور الـ 22 التي تعبر الأنهار الرئيسية في بيتسبرغ مرة واحدة بالضبط والعودة إلى المنزل.



في عام 1735 ، كلف العمدة البروسي ليونارد أويلر بمهمة مماثلة ، فقط لكونيجسبيرج (كالينينجراد الآن). تربط سبعة جسور لهذه المدينة ضفاف النهر الثلاثة والجزيرة. في البداية ، رفض أويلر هذه المشكلة على أنها ليست مشكلة رياضية: "إن الحلول من هذا النوع لا علاقة لها بالرياضيات ، ولا أفهم لماذا تتوقع من عالم رياضيات أن يعطيها لك وليس لشخص آخر".



ومع ذلك ، سرعان ما أثبت أويلر استحالة حل هذه المشكلة ، وفي أثناء ذلك أنشأ مجالًا جديدًا للرياضيات ، والذي أطلق عليه هندسة الترتيبات - ما نسميه اليوم الطوبولوجيا. أدرك أن التفاصيل المحددة - المواقع الدقيقة للجسور ، وشكل قطع الأرض ، إلخ. - لم تكن مهمة. فقط علاقاتهم كانت مهمة. لاحقًا ، صقل علماء الرياضيات صيغ أويلر باستخدام ما نسميه الرسوم البيانية اليوم. فكرة الاتصال هي جوهر التعلم عن وسائل التواصل الاجتماعي ، والإنترنت ، وعلم الأوبئة ، واللغويات ، وتخطيط الطريق ، والمزيد.





جسور كونيغسبيرغ: أثبت ليونارد أويلر أنه من المستحيل بناء طريق على طول كونيغسبيرغ يمر عبر كل جسور المدينة مرة واحدة فقط. لقد فعل ذلك عن طريق التخلص من التفاصيل غير الضرورية ، وتقليص المهمة إلى العناصر الأكثر أهمية ، والتي بدأ فيما بعد في تحديدها باستخدام بنية أكثر تجريدًا - الرسم البياني.



كان دليل أويلر بسيطًا بشكل مدهش. ورأى أنه في كل مرة نأتي فيها ثم نترك قطعة معينة من الأرض ، يجب علينا القضاء على جسرين. لذلك ، يجب أن يكون هناك عدد زوجي من الجسور لكل قطعة أرض. ولكن نظرًا لأن عددًا فرديًا من الجسور أدى إلى كل قسم من أقسام كونيجسبيرج ، فقد كان من المستحيل بناء مثل هذا الطريق. وبالمثل ، فإن الجسور الثلاثة المؤدية إلى جزيرة غيرس على نهر أليغيني في بيتسبرغ تجعل من المستحيل بناء مسار الدراجة المطلوب.



كما تظهر هذه المشكلة ، لا تقتصر المستحيلات على الرياضيات المجردة. يمكن أن يكون لها عواقب في العالم الحقيقي - حتى في بعض الأحيان نتائج سياسية.



في الآونة الأخيرة ، تحول علماء الرياضيات إلى مفهوم التزوير . في الولايات المتحدة ، بعد كل إحصاء سكاني ، يجب على الولايات إعادة تشكيل الدوائر الانتخابية. لكن في بعض الأحيان يعيد الحزب الحاكم كتابة حدوده بطرق سخيفة لتعظيم سلطته السياسية.



العديد من الولايات لديها متطلبات للمقاطعات "المدمجة" التي ليس لديها تعريف رياضي صارم. في عام 1991 دانيال Paulsby وروبرت بوبر المقترحة 4πA / P ²كطريقة لقياس انضغاط المنطقة A والمحيط P. تتراوح هذه القيم من 1 لأبرشية مستديرة إلى ما يقرب من الصفر للمقاطعات المشوهة ذات المحيط الطويل.



في هذه الأثناء، نيكولاس ستيفانوبولوس واريك ماغي قدم "فجوة الأداء" في عام 2014 كمقياس للسلامة السياسية لخطة تغيير المنطقة. استراتيجيتان مختلفتان للتلاعب في توزيع الدوائر الانتخابية هما إما أن تحصل المعارضة على أقل من 50٪ من الأصوات ، أو حوالي 100٪. يتسبب كل من هذه التكتيكات في خسارة المعارضة للأصوات أو خسارة المرشحين المناسبين أو إهدار الأصوات على من لا يفعلون ذلك. تصف فجوة الكفاءة العدد النسبي للأصوات المفقودة.



كلا التدبيرين مفيدان في التعرف على التلاعب. لكن في عام 2018 ، بوريس أليكسييف وداستن ميكسونأثبت أنه "في بعض الأحيان يمكن تحقيق فجوات كفاءة صغيرة مع المقاطعات ذات الشكل الغريب." وهذا يعني أنه من المستحيل رياضياً رسم المقاطعات دائمًا بطريقة تلبي متطلبات بولسبي بوبر والصدق من حيث فجوة الكفاءة.



ومع ذلك ، فإن الكشف عن تقنيات التلاعب الخفية ومنعها هو مجال سريع النمو يجذب العديد من جهود البحث الموهوبة. كما هو الحال مع مشاكل العصور القديمة أو مشكلة جسور كونيجسبيرج ، أنا متأكد من أن مشكلة التلاعب في الدوائر الانتخابية ستلهم الإبداع وتساهم في تطوير الرياضيات.