ما هو السؤال - هذا هو الجواب: إضفاء الطابع الرسمي على المشكلة ، نحن بالفعل نحدد مسبقًا الإجابة المحتملة

مقال مثير للاهتمام ومفيد بعنوان "ترام عشوائي في وسط مدينة غير مألوفة" يقدم التجربة التالية:

تخيل أن شخصًا ما أخذ شريطًا من فيلم فوتوغرافي بطول N cm وقرر ملاحظة كيف ستترك الجسيمات القادمة من الفضاء آثارها عليه. وسيتم وصف التجريبية على نطاق وكثافة احتمال سقوط الفيلم على الجسيمات في توزيع موحد على الفاصلة 0 إلى N . في هذه التجربة ، يخبرك المجرب المسافة k بين الحافة اليسرى للفيلم والنقطة التي اصطدم فيها أول جسيم مسجل. كما كان من قبل، هل هناك حاجة لإعطاء تقدير معقول للمجهول لك من N .

لحل هذه المشكلة ، تم وضع الافتراض التالي:

تخيل الآن أنه في تجربة واحدة ، كانت المسافة من نقطة تأثير الجسيم إلى الحافة اليسرى للفيلم الفوتوغرافي تساوي P1 ، وفي تجربة أخرى - P2 ، مع P1 <P2 . ألن يكون من المعقول إذن إعطاء تقدير أصغر لطول الفيلم الفوتوغرافي في التجربة الأولى منه في الثانية؟

تساءلت بالأرقام - هل هو دائمًا وما مدى معقولية ذلك؟



هذه الملاحظات ليست استمرارًا ومناقشة للمقال الذي تم أخذ الاقتباس منه ، فهذه محاولة لمعرفة كيف ستؤثر صياغة المشكلة نفسها والقيود المفروضة والافتراضات والشروط المعتمدة في مرحلة الصياغة على الإجابة المستلمة. لن أعطي الصيغ وسأحاول عدم استخدام المصطلحات الخاصة ، يبدو لي أن مشكلة الاعتماد على النتيجة على الافتراضات المقبولة أو غير المقبولة ستكون أكثر وضوحًا.

في البداية ، سوف أقوم بتعديل التجربة وتبسيطها وأسسها.

مصير أو مساعدنا لديه حقيبة بها براميل مرقمة بالترتيب ، كما هو الحال في اليانصيب. المساعد (من الأسهل بالنسبة لي أن أتخيله من القدر) يسحب منا سراً برميلًا عشوائيًا ويصب في الكرات الأولى المرقمة في الصندوق وفقًا للرقم الموجود على البرميل. ثم يكرر إجراء إزالة البرميل بشكل عشوائي ويصب العدد المناسب من الكرات المرقمة في الصندوق الثاني. يوجد صندوقان أمامنا مع عدد غير معروف من الكرات في كل منهما. نرسم بشكل عشوائي كرة واحدة من الأولى وكرة واحدة من الصندوق الثاني ، ونفترض بشكل معقول أن الكرة ذات الأرقام العالية تتوافق مع الصندوق بعدد كبير من الكرات.

دعونا نقدر مدى معقولية الافتراض؟

دعونا نحدد المشكلة بشكل رسمي

1. نظرًا لوجود البراميل في الحقيبة ، يجب أن تقتصر على عدد معين. مع الأخذ في الاعتبار المصدر الأصلي حول عدد خطوط الترام ، فقد تم تحديد عدد البراميل حتى الآن بـ 30.



2. ولكن ماذا يجب أن نفعل إذا أخذنا الكرات بنفس الأرقام من الصناديق؟ لدينا خيارات:



2.1 للاعتراف بالنتيجة على أنها غير ناجحة ، وليس لاتخاذ قرارات ومطالبة المساعد بعمل تعبئة جديدة للصناديق.



2.2 ارمي عملة معدنية وحدد بشكل عشوائي الصندوق الذي يحتوي على المزيد من الكرات. لن تكون هناك نتائج مؤسفة في هذا الخيار.



قرر 2.3 أنه نظرًا لأن الأرقام هي نفسها ، فإن عدد الكرات في الصناديق هو نفسه أيضًا. لن تكون هناك نتائج غير ناجحة في هذا الخيار أيضًا.



هنا أريد أن أشير إلى أنني لا أختار الخيار الأفضل. هدفي هو معرفة كيف ستؤثر الخيارات المختلفة على الإجابة.



3. نظرًا لأن لدينا عددًا مختلفًا من النتائج ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو: "ومن أي عدد من النتائج لحساب نصيب الإجابات الصحيحة؟" من كل التجارب أم فقط من النتائج الناجحة؟ دعونا نحسب كلا الخيارين.



4. أخرج المساعد البرميل الأول ، ونظر إلى الرقم ، وسكب العدد المقابل من الكرات في الصندوق الأول. قف! ثم ماذا فعل بالبرميل المنزوع؟ لديه خياران: إعادة البرميل إلى الحقيبة ، أو ليس عليك إعادته إلى الحقيبة. أو ما هو نفسه - يمكن للمساعد الحصول على برميلين دفعة واحدة وسكب الكرات في الصناديق وفقًا للأرقام المأخوذة على البراميل ، والمساعدين كسالى ، لكننا لا نرى ما يفعله هناك. في هذه الحالة ، لن يكون لدينا أبدًا عدد متساوٍ من الكرات في الصناديق ، وبالتالي نتائج غير ناجحة. تنحرف هذه النقطة بوضوح عن المهمة من الاقتباس ، حيث يعود البرميل إلى الحقيبة ، لكن لدي أهدافًا أخرى ، وعدم إعادة البرميل هو وضع نموذجي في الحياة ، سنحسب هذا الخيار.



إذن ، لدينا ثلاثة خيارات لكيفية حساب نتائج التجربة التي تكون فيها أرقام الكرات متساوية ، وخياران لحساب نسبة الإجابات الصحيحة وخياران لملء الصناديق بالكرات. إجمالي 12 نوعًا مختلفًا من نتائج التجربة!



كيف سيعتمد احتمال الإجابة الصحيحة على عدد البراميل الموجودة في كيس القدر ، أي على أكبر عدد ممكن من الكرات في الصندوق؟ ربما ستكون كل الخيارات هي نفسها؟ ربما سيكون للخيارات نفس الاتجاه؟ في هذه اللحظة حاولت اختبار حدسي عن طريق ملء اللوحة التالية:







اتضح ، وأنا أركض للأمام ، أنه يجب علي تدريب وتدريب حدسي. لقد قمت بتنظيف اللوحة من العديد من الاعتبارات الخاصة بي.



لكي لا تتعب مع الصيغ التي ، على الرغم من جمالها ، إلا أنها متكررة ، ولا يمكنني تقليل الصيغ المتكررة إلى الصيغ المغلقة ، سأصف خوارزمية الحساب العامة:



1. لكل عدد من البراميل في كيس ، يمكننا عمل قائمة بجميع الخيارات لملء الصناديق بالكرات.



مثال: إذا كان عدد البراميل 4 ، فسنحصل على 16 خيارًا لملء صندوقين بعدد الكرات: 1 و 1 و 1 و 2 و 1 و 3 و 2 و 1 و 2 و 2 ... 4 و 4.



2. لكل متغير لملء الصناديق ، نحسب عدد الإجابات الصحيحة لثلاثة متغيرات لحساب الكرات المتساوية.



مثال: لملء الصناديق 2 و 3 ، (في الصندوق الأول هناك كرتان ، في الثانية 3) سيظهر الجدول التالي.







3. بالنسبة لعدد البراميل المحدد ، اجمع جميع الإجابات الصحيحة لكل خيار لملء الصناديق.



4. نحسب نسبة الصحيح منها لخيارى العد (بالنسبة للعدد الإجمالي للتجارب وعدد التجارب الناجحة).



5. نقوم أيضًا بحساب النقاط من 3 إلى 4 للخيار عندما لا يعود البرميل إلى الكيس ، أي عندما لا يكون لدينا عدد متساوٍ من الكرات في الصناديق.



لقد حسبت عدد البراميل من 1 إلى 8 و 30 لإظهار الاتجاه. ها هي الرسوم البيانية.

أولاً للخيار عند إرجاع البرميل إلى الحقيبة

مع زيادة عدد البراميل في الكيس ، وبالتالي زيادة العدد المحتمل للكرات في الصناديق ، يزداد احتمال التقييم الصحيح ويقل الفرق بين الخيارات. من الغريب أن الاحتمال ليس دائمًا أعلى من 0.5. الرسم البياني الأصفر مثير للفضول أيضًا ، فهناك انخفاض وبعد ذلك فقط ارتفاع. بشكل عام ، لم يكن النطاق من 1 إلى 7 واضحًا بالنسبة لي.



اتضح أنه إذا كان هناك أقل من 8 كرات ، فإن متغير العد "يساوي يعتبر فاشلاً. يتم احتساب النسبة المئوية للأعداد الصحيحة من جميع التجارب "الإجابة العشوائية ستعطي نتيجة أفضل من اتباع القاعدة" المزيد من رقم الكرة يعني أن الصندوق يحتوي على المزيد من الكرات. "

الرسوم البيانية للخيار عندما لا يعود البرميل إلى الكيس وبالتالي لا يمكن أن يكون هناك نفس عدد الكرات في الصناديق

الرسومات الثالثة ، نظرًا لأن الاثنين متماثلان ، تم تمييزهما باللون الأحمر.



بالنسبة لأربعة خيارات ، ينخفض ​​احتمال الإجابة الصحيحة ويميل ، على ما يبدو ، إلى 0.5! (؟) وبعبارة أخرى ، في هذه الخيارات لعدد كبير من الكرات في الصناديق ، لا يمكنك إجراء تجربة على الإطلاق ، ولكن ببساطة رمي عملة معدنية - والنتيجة هي نفسها. في الواقع ، من أجل هذا ، قررت حساب خيارات مختلفة ، كنت أتوقع بعض المفاجآت. ليس لدي دليل صارم على أن الاحتمال يميل بالضبط إلى 0.5. هذا هو حدسي مرة أخرى ، وغالبًا ما يفشل.



أريد أن أؤكد مرة أخرى أن هذه الملاحظات لا تتعلق باختيار الإستراتيجية الصحيحة أو تقييم الخيار الأفضل. كان الاهتمام هو رؤية تأثير الخيارات المختلفة لتحديد الشروط على النتيجة.



ملاحظة: كما أردت ، تمكنت من عدم استخدام الصيغ واستخدام مصطلح خاص - صيغة متكررة مرة واحدة فقط.



إذا كنت كسولًا جدًا لمشاهدة ويكيبيديا ، فإن الصيغة المتكررة هي عندما تحتاج إلى الحضور إلى المنزل رقم 30 ، ولكن يجب عليك أولاً زيارة جميع المنازل السابقة ذات الأرقام من 1 إلى 29.