كيف يعمل دليل Gödel

هزمت نظريات عدم الاكتمال البحث عن نظرية رياضية لكل شيء. بعد ما يقرب من مائة عام ، ما زلنا نحاول فهم عواقب ذلك.

في عام 1931 ، قام عالم المنطق النمساوي كورت جودل بما يمكن القول أنه أحد أكثر الحيل الفكرية إثارة للدهشة في التاريخ.



كان علماء الرياضيات في تلك الحقبة يبحثون عن أسس الرياضيات التي لا تتزعزع: مجموعة من الحقائق الأساسية ، والبديهيات التي ستكون متسقة وكاملة ، وتلعب دور اللبنات الأساسية لجميع الحقائق الرياضية.



ومع ذلك ، فإن نظريات عدم الاكتمال المروعة لجودلالذي نشره وهو يبلغ من العمر 25 عامًا فقط ، حطم هذا الحلم. لقد أثبت أن أي مجموعة من البديهيات التي يمكن أن تقترحها لتكون أساس الرياضيات ستكون حتمًا غير مكتملة. ستكون هناك دائمًا بيانات صحيحة حول الأرقام لا يمكن إثباتها باستخدام هذه البديهيات. كما أظهر أنه لا يمكن استخدام أي مجموعة من البديهيات لإثبات اتساقها.



وتعني نظريات عدم الاكتمال الخاصة به أنه لا يمكن أن تكون هناك نظرية رياضية لكل شيء ، ومن المستحيل الجمع بين مجموعة العبارات التي يمكن إثباتها ومجموعة الجمل الصحيحة. ما يمكن لعلماء الرياضيات إثباته يعتمد على الافتراضات الأولية ، وليس على بعض الحقائق الأساسية التي تنشأ منها جميع الإجابات.



في 89 عامًا منذ اكتشاف Gödel ، عثر علماء الرياضيات على أسئلة مماثلة دون إجابة ، والتي تنبأت بوجودها نظرياته. على سبيل المثال ، ساعد Gödel نفسه في إثبات أن فرضية الاستمرارية المتعلقة بأصول اللانهايات غير قابلة للتقرير - تمامًا مثل مشكلة التوقف، حيث يلزم تحديد ما إذا كان تنفيذ برنامج كمبيوتر سينتهي في أي وقت ببيانات إدخال معينة ، أم أنه سيعمل إلى الأبد. نشأت أسئلة غير قابلة للحل حتى في الفيزياء ، مما يشير إلى أن عدم اكتمال جودل لا يؤثر فقط على الرياضيات ، ولكن في بعض المعاني (غير الواضحة تمامًا) ، الواقع.



ما يلي هو موجز موجز ومبسط وغير رسمي لكيفية إثبات Gödel نظرياته.

ترقيم جوديل

كانت الخطوة الرئيسية لـ Gödel هي مقارنة البيانات المتعلقة بنظام البديهية مع البيانات التي تم إجراؤها داخل هذا النظام - مع البيانات المتعلقة بالأرقام. يسمح هذا التجاور لنظام البديهيات بالتفكير بهدوء حول نفسه.



تتمثل الخطوة الأولى في مطابقة أي بيان رياضي محتمل ، أو سلسلة من العبارات ، مع رقم فريد يسمى رقم Gödel .



نسخة منقحة قليلاً من ترقيم Gödel كما تم تقديمها في كتاب 1958 Gödel's Proof بواسطة Ernest Nagel و James Newman، يبدأ بـ 12 رمزًا أوليًا ، والتي تعمل بمثابة قاموس للتعبير عن مجموعة من البديهيات الأساسية. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن بيان حول وجود شيء ما بالرمز ∃ وإضافة الرمز +. يجعل حرف s ، الذي يرمز إلى "العنصر التالي" ، من الممكن الإشارة إلى الأرقام: على سبيل المثال ، يرمز ss0 إلى اثنين.



ثم يتم تعيين أرقام Gödel من 1 إلى 12 لهذه الأحرف الاثني عشر.







ثم تتم مطابقة الأحرف التي تشير إلى المتغيرات ، بدءًا من x و y و z ، بأعداد أولية أكبر من 12 (13 ، 17 ، 19 ، ..).



ثم تحصل كل مجموعة من هذه الرموز والمتغيرات - أي أي معادلة حسابية أو سلسلة من الصيغ التي يمكن تكوينها - على رقم Gödel الخاص بها.



ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، العبارة 0 = 0. تتوافق رموزها الثلاثة مع أرقام Gödel 6 و 5 و 6. يحتاج Gödel إلى استبدال هذا التسلسل المكون من ثلاثة أرقام برقم فريد واحد - وهو رقم لن ينتج عن أي تسلسل آخر للرموز. للقيام بذلك ، يأخذ أول ثلاثة أعداد أولية (2 و 3 و 5) ، ويرفع كل منها إلى القوة التي تساوي الرقم المقابل في التسلسل ، ويضربها. إذن ، 0 = 0 يصبح 2 ⁶ × 3 ⁵ × 5⁶ ، أو 243.000.000.



يعمل هذا الترميز لأنه لا توجد صيغتان ستعطيان نفس رقم Gödel. أرقام جوديل هي أعداد صحيحة ، ويمكن تحليل الأرقام إلى عوامل أولية بطريقة فريدة. لذلك ، فإن الطريقة الوحيدة لتحليل 243.000.000 في العوامل هي 2 ⁶ × 3 ⁵ × 5 ⁶ ، أي ، هناك طريقة واحدة فقط لفك تشفير رقم Gödel هذا: عن طريق كتابة الصيغة 0 = 0.



ثم ذهب جودل إلى أبعد من ذلك. يتكون الدليل الرياضي من سلسلة من الصيغ. لذلك ، قام Gödel بتعيين كل سلسلة من الصيغ لرقم Gödel الخاص به. في هذه الحالة ، يبدأ أيضًا بسلسلة من الأعداد الأولية - 2 ، 3 ، 5 ، إلخ. ثم يرفع كل منهما إلى القوة المقابلة لرقم Gödel للصيغة في نفس الموضع الترتيبي في التسلسل (على سبيل المثال ، ^{2،243،000،000} ، إذا كانت الصيغة 0 = 0 تأتي أولاً) ، وضرب كل شيء معًا.

الرياضيات الحسابية

من اللافت للنظر أنه حتى العبارات المتعلقة بالصيغ الحسابية ، ما يسمى. يمكن ترجمة البيانات الحسابية إلى صيغ ، وتعيين أرقام Gödel الخاصة بهم.



ضع في اعتبارك أولاً الصيغة ~ (0 = 0) ، والتي تعني "الصفر ليس صفراً". من الواضح أنها خاطئة. ومع ذلك ، فإنه يحتوي على رقم Gödel: 2 إلى أس 1 (رقم Gödel للحرف ~) ، مضروبًا في 3 إلى الأس 8 (رقم Gödel للحرف القوسي الأيسر) ، وهكذا ، مما ينتج عنه 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶ × 7 ⁵ × 11 ⁶ × 13 ⁹ .



نظرًا لأنه يمكننا إنشاء أرقام Gödel لجميع الصيغ ، حتى تلك الخاطئة ، يمكننا التفكير فيها بشكل هادف باستخدام أرقام Gödel الخاصة بهم.



ضع في اعتبارك العبارة "الحرف الأول من الصيغة ~ (0 = 0) هو علامة التلدة". تتحول هذه العبارة الرياضية الحقيقية حول ~ (0 = 0) إلى بيان حول رقم Gödel الخاص بصيغة معينة - أي أن درجتها الأولى هي 1 ، أي رقم Gödel للتيلدا. بمعنى آخر ، بياننا يقول أن هناك عامل واحد فقط "2" في 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶ × 7 ⁵ × 11 ⁶ × 13 ⁹ . إذا بدأ ~ (0 = 0) بأي حرف آخر غير التلدة ، فإن رقم GG الخاص به سيكون له على الأقل عاملين من 2. لذلك ، لتوضيح الأمر بشكل أكثر دقة ، 2 هو عامل 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶ × ٧ ^٥× 11 ⁶ × 13 ⁹ ، لكن 2 ² ليست كذلك.



يمكننا تحويل الجملة الأخيرة إلى صيغة رياضية دقيقة ، وكتابتها باستخدام الرموز الأولية. هذه الصيغة ، بطبيعة الحال ، سيكون لها رقم Gödel الخاص بها ، والذي يمكننا حسابه من خلال مطابقة رموزها مع قوى الأعداد الأولية.



إذا كنت مهتمًا ، فستظهر الصيغة على النحو التالي: هناك عدد صحيح x مثل أن x ، مضروبًا في 2 ، سيساوي 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶ × 7 ⁵ × 11 ⁶ × 13 ⁹ ، لكن لا يوجد مثل هذا العدد الصحيح x ذلك مضروبًا في 4 نحصل على 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶× 7 ⁵ × 11 ⁶ × 13 ⁹ . تبدو الصيغة المقابلة كما يلي:



(∃x) (x × ss0 = sss… sss0) ⋅ ~ (∃x) (x × ssss0 = sss… sss0)



حيث sss ... sss0 تعني 2 ¹ × 3 ⁸ × 5 ⁶ × 7 ⁵ × 11 ⁶ × 13 ⁹ نسخ من شخصية العنصر التالي s. يرمز الرمز إلى "and" وهو تدوين أقصر للمفردات الأساسية: p ⋅ q تعني ~ (~ p ∨ ~ q).



هذا المثال ، كما كتب Nagel و Newman ، "يوضح فكرة عامة وعميقة وراء اكتشاف Gödel: يمكننا التحدث بدقة عن الخصائص المطبعية للتسلسلات الطويلة من الأحرف ، ولكن ليس بشكل مباشر ، ولكن من خلال خصائص تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة.



يمكن أيضًا تحويل البيانات الحسابية إلى رموز. "هناك تسلسل معين من الصيغ برقم Gödel x ، والذي يثبت وجود صيغة برقم Gödel k" - أو باختصار ، "صيغة برقم Gödel k يمكن إثباتها". لقد كانت القدرة على "حساب" مثل هذه التصريحات هي التي أرست أسس الانقلاب.

G في حد ذاته

بالإضافة إلى ذلك ، أدرك Gödel أنه من الممكن استبدال رقم Gödel الخاص ، بالإشارة إلى الصيغة ، في الصيغة نفسها - وهذا يؤدي بالفعل إلى مشاكل لا نهاية لها.



لفهم كيفية عمل هذا الاستبدال ، ضع في اعتبارك الصيغة (∃x) (x = sy). هذا يعني أن "هناك متغير x هو العنصر التالي لـ y" ، أو بشكل أكثر بساطة ، "y" "يحتوي على العنصر التالي". مثل كل الصيغ ، لها رقم Gödel الخاص بها - بعض الأعداد الصحيحة الكبيرة ، دعنا نسميها m.



سنقوم الآن بإدخال الرقم m في الصيغة بدلاً من الرمز y. والنتيجة هي صيغة جديدة (∃x) (x = sm) ، بمعنى "m لديه العنصر التالي". ما هو رقم Gödel لهذه الصيغة؟ نحتاج إلى نقل ثلاث ميزات: بدأنا بصيغة برقم Gödel m. في ذلك ، استبدلنا رمز y بالرمز m. ووفقًا لخطة المقارنة الموصوفة سابقًا ، فإن رقم Gödel للرمز y هو 17. دعونا نشير بعد ذلك إلى رقم Gödel للصيغة الفرعية الجديدة (m ، m ، 17).



يشكل الاستبدال أساس إثبات Gödel.





الطالب كورت جودل في فيينا. نشر نظريات عدم الاكتمال في عام 1931 ، بعد عام من حصوله على شهادته.



اعتبر البيان الرياضي التالي: "لا يمكن إثبات الصيغة ذات رقم Gödel الفرعي (y ، y ، 17)." بتذكيرنا بالتدوين الذي اعتمدناه للتو ، نعلم أننا نحصل على الصيغة برقم Gödel الفرعي (y ، y ، 17) بأخذ الصيغة مع رقم Gödel y (متغير غير معروف) واستبدال هذا المتغير y أينما كان الرمز بـ Gödel رقم 17 (أي أينما يحدث y).



بدأ الرأس بالفعل في الدوران ، ولكن ، مع ذلك ، يمكننا بالتأكيد ترجمة بياننا الرياضي ، "لا يمكن إثبات الصيغة ذات الرقم الفرعي لجودل (y ، y ، 17)" إلى صيغة برقم Gödel فريد. دعنا نسميها ن.



والمرحلة الأخيرة من الاستبدالات: ينشئ Gödel معادلة جديدة ، مستبدلاً الرقم n حيثما يظهر y في الصيغة السابقة. صيغته الجديدة هي كما يلي: "لا يمكن إثبات الصيغة ذات رقم Gödel الفرعي (n ، n ، 17)". دعونا نسمي هذه الصيغة G.



G لديه رقم Gödel بشكل طبيعي. ما هذا الرقم؟ فويلا - يجب أن تكون فرعية (ن ، ن ، 17). بحكم التعريف ، sub (n ، n ، 17) هو رقم Gödel للصيغة ، والذي يتم الحصول عليه بأخذ الصيغة برقم Gödel n واستبدال n حيثما تحتوي الصيغة على رمز برقم Gödel يساوي 17. و G هي فقط مثل هذه الصيغة و يوجد! نظرًا لأن الأعداد الصحيحة تتحلل إلى عوامل أولية بطريقة فريدة ، يتضح لنا أن الصيغة G تخبرنا فقط عن الصيغة G نفسها ، ولا شيء آخر.



يقول G أنه لا يمكن إثبات ذلك في حد ذاته.



ولكن هل يمكن إثبات G؟ إذا كان ذلك ممكنًا ، فهذا يعني أن هناك تسلسلًا للصيغ يثبت وجود صيغة برقم Gödel الفرعي (n ، n ، 17). لكن هذا عكس الصيغة G ، التي تقول أنه لا يوجد مثل هذا الدليل. العبارات المقابلة ، G و ~ G ، في نظام ثابت من البديهيات لا يمكن أن تكون صحيحة في نفس الوقت. لذلك ، يجب أن يكون G غير قابل للإثبات.



ومع ذلك ، على الرغم من أن G لا يمكن إثباتها ، إلا أنها صحيحة بالتأكيد. يقول G أن "الصيغة التي تحتوي على رقم Gödel الفرعي (n ، n ، 17) لا يمكن إثباتها" ، وهو بالضبط ما أنشأناه! نظرًا لأن G عبارة حقيقية ولكنها غير قابلة للإثبات موجودة داخل النظام البديهية الذي استخدمناه في بنائه ، فإن هذا النظام غير مكتمل.



قد تعتقد أنه يمكننا فقط إضافة بعض البديهية الإضافية ، واستخدامها لإثبات G وحل هذه المفارقة. لكن هذا مستحيل. أظهر Gödel أن النظام المعزز للبديهيات سيجعل من الممكن إنشاء صيغة جديدة حقيقية G 'وفقًا لنفس المخطط كما كان من قبل ، والذي لا يمكن إثباته في إطار النظام الجديد المعزز. في محاولة لبناء نظام رياضي كامل ، لن تنجح إلا في مطاردة ذيلك.

عدم وجود دليل على الاتساق

نحن نعلم الآن أنه إذا كانت مجموعة من البديهيات متسقة ، فهي غير كاملة. هذه أول نظرية عدم اكتمال لجودل. الثاني يتبعه بسهولة - لا يمكن لمجموعة واحدة من البديهيات إثبات اتساقها.



ماذا يعني أن تثبت مجموعة من البديهيات أنها لن تكون مثيرة للجدل أبدًا؟ هذا يعني أن هناك سلسلة من الصيغ مبنية على هذه البديهيات ، مما يثبت الصيغة التي تعني metamathemically "هذه المجموعة من المسلمات متسقة". ولكن بعد ذلك ، وفقًا للنظرية الأولى ، ستكون هذه المجموعة من البديهيات بالضرورة غير كاملة.



ومع ذلك ، فإن القول بأن "مجموعة البديهيات غير كاملة" هو نفس القول "هناك معادلة حقيقية لا يمكن إثباتها". وهذا يكافئ الصيغة G. ونعلم أن البديهيات لا يمكنها إثبات صحة G.



لذلك بنى جودل برهانًا بالتناقض: إذا تمكنت مجموعة من البديهيات من إثبات اتساقها ، فيمكننا إثبات ج.لكننا لا نستطيع ذلك. وبالتالي ، لا توجد مجموعة من البديهيات تثبت اتساقها.



قضى دليل جوديل على السعي وراء نظام رياضي متسق وكامل. كتب ناجل ونيومان في عام 1958 أن علماء الرياضيات "فشلوا في فهم العمق الكامل" لعدم الاكتمال. ولا يزال هذا البيان صحيحًا حتى اليوم.

أنظر أيضا:

• " لماذا يصعب إثبات نظرية عدم اكتمال Gödel: إنها تتعلق بالصياغة وليس فقط الجوهر "
• " نظرية عدم اكتمال جوديل في 20 دقيقة "
• " أسرار الوعي والرياضيات "