التقريب الخطي لمجموعة من الخطوط بواسطة مجموعة من النقاط الصاخبة

صياغة المشكلة

لنفكر في مشكلة تقريب مجموعة من الخطوط المستقيمة بمجموعة من الإحداثيات المزعجة للنقاط الواقعة على مجموعة معينة من الخطوط (انظر الشكل 1 والشكل 2). لن تعمل صيغة التقريب الخطي المعتادة هنا ، لأن النقاط مختلطة وستكون النتيجة خطًا متوسطًا بينهما (انظر الشكل 3).

الشكل: مجموعة خطية واحدة ومجموعة إحداثيات صاخبة

الشكل: 2 مجموعة من الخطوط ومجموعة صاخبة من الإحداثيات بمقياس موسع

الشكل: 3 نتيجة التقريب الخطي

الخوارزمية

, , . .. , , -90 +90 ( -180 180 , .. ).

, , . , , . .

, , . , , .

1.

. , . , . -90 90 0.1 .

2.

, .

, , :

y = k x + b, x_{p}, y_{p}

$y = kx + b, x_p, y_p$

, , , :

y - y_{p} = - (x - x_{p}) / k => y = - x / k + x_{p} / k + y_{p}

$y-y_p=-(x-x_p)/k =>y= -x/k+ x_p/k+y_p$

, :

- x / k + x_{p} / k + y_{p} = k x + b => - x + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + b k

$-x/k+ x_p/k+y_p=kx+b => -x+ x_p+ky_p= k^2 x+bk$

- b k + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + x => x = (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1)

$-bk+ x_p+ky_p= k^2 x+x => x= (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)$

y = k (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1) + b = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} - b k^{2} + b k^{2} + b) / (k^{2} + 1) = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1)

$y= k (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)+b= (〖kx〗_p+k^2 y_p-bk^2+bk^2+b)/(k^2+1)=(〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1)$

:

d i s t = \sqrt ((x_{p} - (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1))^{2} + (y_{p} - (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1))^{2})

$dist= √((x_p- (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1))^2+(y_p- (〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1))^2 )$

3.

, , , (. . 4-6).

. , (. . 7, 8). . 7 , .

. 4 ( )

. 5 ( )

. 6 ( )

. 7 ( 1)

. 8 ( 2)

4.

, . , (. . 9 . 10):

k = (N \sum_{1}^{N} (x y) - \sum_{1}^{N} x \sum_{1}^{N} y) / (N \sum_{1}^{N} x^{2} - (\sum_{1}^{N} x)^{2}); b = (\sum_{1}^{N} y - k \sum_{1}^{N} x) / N

$k= (N∑_1^N(xy)- ∑_1^Nx ∑_1^Ny)/(N∑_1^Nx^2 - (∑_1^Nx)^2 ); b =(∑_1^Ny-k∑_1^Nx)/N$

. 9

. 10

(. 11-13).

. 11

. 12

. 13

( ). .

, , , , .

, - . , . - , .

All Articles