👩🏾‍🔬 🎀 👲 الخيارات: تحوم وضع المكالمة ، حركة براونية. برنامج تعليمي للمهوس الجزء السابع 💔 👠 🐓

هذا هو الجزء الثاني من القصة حول الخيارات ، حيث سنتعامل مع ارتفاع استدعاء البيع ، وحالة عدم المراجحة في السوق ، والتعرف على أفكار التحوط والتكرار ، والتحدث عن ماهية الحركة البراونية وكيف ترتبط بنمذجة سلوك معدل الأصول المالية بمرور الوقت.

سيكون هناك القليل من الرياضيات لفهم التفاصيل بشكل أفضل.

هذا المنشور عبارة عن نسخة نصية من محاضرات الفيديو الخاصة بي " وضع الماوس عند الطلب وشرط عدم وجود المراجحة " ، " الحركة البراونية " ، التي تم إنشاؤها كجزء من دورة Finmath for Fintech

تحوم وضع المكالمة. مثال على استخدام شرط عدم المراجحة لتحليل سعر محفظة الأدوات

لذلك ، من الجزء السابق ، نعرف كيف تبدو مدفوعات خيار البيع والشراء عند انتهاء الصلاحية (النقطة الزمنية التي يمكن فيها ممارسة الحق الذي يوفره الخيار) ، لكننا نرغب أيضًا في معرفة كيفية حساب الخيار لفترات زمنية أخرى. للقيام بذلك ، نحتاج إلى بناء نموذج رياضي باستخدام جهاز رياضي أكثر تعقيدًا. ومع ذلك ، قبل أن نفعل ذلك ، دعونا نلقي نظرة على علاقة التكافؤ عند الطلب ، وهي ليست معقدة ومفيدة للغاية في الممارسة.

تذكر أن الخيار الأوروبي هو عقد يحصل بموجبه مشتري العقد على الحق ، ولكن ليس الالتزام ، بشراء أو بيع بعض الأصول الأساسية بسعر محدد مسبقًا في لحظة معينة في المستقبل في العقد.

يمكن أن يكون الأصل الأساسي سهمًا أو سعرًا للعملة. يُطلق على سعر السوق للأصل الأساسي السعر الفوري ، وفي الصيغ ، يُطلق على قيمة النقطة في ذلك الوقت

t

$t$ كما تدل

S_{t}

$S_t$ ...

يسمى الخيار الذي يمنح الحق في شراء الأصل الأساسي خيار الشراء. حق البيع هو خيار بيع. يُشار إلى السعر الذي يمنح عنده الخيار الحق في إبرام صفقة في المستقبل الإضراب

K

$K$ ...

الوقت المتفق عليه مسبقًا في العقد والذي يمكن فيه استخدام الخيار هو وقت انتهاء صلاحية الخيار (انتهاء الصلاحية) -

T

$T$ ... يشار إلى قيمة معدل الأصول الأساسية في وقت انتهاء الصلاحية بواسطة

S_{T}

$S_T$ ...

دعونا نبني جداول الدفع لانتهاء الصلاحية. لدينا أصل أساسي معين - سعر انتهاء صلاحيته:

S_{T}

$S_T$ وكذلك الدفع

P

$P$ استلمنا. ستكون جداول العوائد في هذه الإحداثيات

S_{T}, P

$S_T, P$ ... دعونا نضع

K

$K$ - مستوى الضربة على المحور

S_{T}

$S_T$ ...

الخيار الأول الذي سنرسمه هو خيار الشراء. اشترينا خيار الاتصال.

يسمى هذا أيضًا بخيار الشراء "الطويل" ، وهو موضع علامة زائد على هذا الخيار. ولكن يمكننا أيضًا بيع الخيارات ، وهذا ما يسمى باختصار .

الخيار الثاني الذي سنرسمه سيكون بيعًا قصيرًا .

في الرسم البياني ، يمكننا أن نرى أنه عندما أضفنا الدفعتين ، حصلنا على دالة خطية بسيطة ، والتي تعرف بأنها (

S_{T} - K

$S_T-K$ ). يمكن الحصول على نفس النتيجة تحليليًا. لدينا مركز خيار شراء بعلامة زائد وخيار بيع بعلامة ناقص:

C - P

$C-P$

دعنا نستخدم الصيغ التحليلية التي نعرفها بالفعل:

m a x (0, S_{T} - K) - m a x (0, K - S_{T})

$max(0, S_T-K)-max(0, K-S_T)$ ...

لتوسيع الأقواس ، علينا النظر في حالتين منفصلتين حيث

S_{T} > K

$S_T>K$ و

S_{T} < K

$S_T<K$ ...

لدينا النظام التالي:

{\begin{cases} S_{T} - K - 0, S_{T} > K \\ 0 - K + S_{T}, S_{T} \leq K \end{cases}

$\begin{cases} S_T-K-0, S_T>K \\ 0-K+S_T, S_T≤K \end{cases}$

في كلتا الحالتين ، ستحصل على نفس الصيغة البسيطة:

S_{T} - K

$S_T-K$ ...

وبالتالي ، يتم وصف المدفوعات في أي حال بنفس الصيغة ، بغض النظر عن سعر الأصل الأساسي المحقق في وقت انتهاء الصلاحية. مرة أخرى ، اسمحوا لي أن أذكرك أن المدفوعات التي سحبناها هي مدفوعات (وبالتالي التكلفة) للخيارات في وقت انتهاء الصلاحية. في حالة أسعار الخيارات في وقت آخر ، يتم وصفها من قبل بعض الوظائف الأخرى الأكثر تعقيدًا. سأرسمهم بشروط الآن.

نحن نعلم أنه بالنسبة لهذه المجموعة في وقت انتهاء الصلاحية ، يتم تحديد العائد بواسطة الصيغة

S_{T} - K

$S_T-K$ لأي قيمة

S_{T}

$S_T$ ... إذا وجدنا مجموعة أخرى من الأدوات التي ستعطي نفس العائد في وقت انتهاء الصلاحية ، فيمكننا القول إن تكلفة هذه المجموعة من الأدوات والمجموعة

C - P

$C-P$ يجب أن تكون هي نفسها.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكنك اليوم شراء أرخص هذه المجموعات من الأدوات وبيعها بسعر أعلى ، وبالتالي تحقيق ربح. ونظرًا لأن هاتين المجموعتين تعطيان نفس العائد عند انتهاء الصلاحية ، وأخذناهما بإشارات معاكسة ، فإن إجمالي المدفوعات مضمون ليكون صفرًا. مثل هذه الصفقة ، التي تعطي دخلاً مضمونًا بدون مخاطر ، ببساطة بسبب عدم التوازن في أسعار الأدوات في السوق ، تسمى المراجحة.... عادة ما تتضمن النظريات الرياضية لحساب أسعار الأدوات افتراض أن السوق خالٍ من المراجحة. هذا الافتراض يطابق الواقع بشكل كافٍ. فرص التحكيم في السوق ، إذا ظهرت ، لا تدوم طويلاً. العثور عليها واستخدامها ليس بالأمر السهل. لذلك عادة ما يعمل هذا الافتراض بشكل جيد.

من حالة السوق دون المراجحة ، يتبع ذلك الجمع

C - P

$C-P$ سيكون في أي وقت

t \leq T

$t≤T$ (ليس فقط

T

$T$ ) تكلف نفس تكلفة أي مجموعة من الأدوات ، يتم دفع تعويضات لها في الوقت الحالي

T

$T$ ستكون متساوية

S_{T} - K

$S_T-K$ ... من السهل إجراء هذا المزيج عن طريق شراء الأصل الأساسي

S

$S$ واقتراض أموال بمثل هذا المبلغ الذي سيكون من الضروري عند انتهاء الصلاحية إعادة مبلغ يساوي

K

$K$ ... عند التعامل مع الأدوات المالية ، فإن هذا الدين يعادل بيع سند بدون قسيمة (سند) ، والذي يدفع

K

$K$ في اللحظة

T

$T$ ... يمكنك قراءة المزيد عن السندات والفائدة في المشاركات السابقة في هذه السلسلة ( قيمة المال، وأنواع المصالح، خصم والأسعار الآجلة البرنامج التربوي للالمهوس، جزء 1. و السندات: القسيمة وصفر القسيمة، وحساب العائد البرنامج التربوي للالمهوس، جزء 2 ) ...

لذا ، فإن المحفظة من خيار الشراء والمحفظة من خيار البيع تساوي مزيجًا من الشراء على الأصل الأساسي والسند القصير ، والذي من شأنه أن يعطي دفعة واحدة لكل انتهاء صلاحية مع التعادل

K

$K$ ...

C_{t} - P_{t} = S_{t} - B_{T} K

$C_t-P_t=S_t-B_TK$

هذه النسبة مستقلة عن النموذج الذي يمكننا بناءه لسعر الأصول الأساسي. إنها لا تعتمد حتى على الكيفية التي ننظر بها إلى الخصم ، وهذا يأتي من غياب المراجحة في السوق. لقد قمنا بتجميع محفظة واحدة ، والنظر في جميع الخيارات الممكنة ، ومقدار التكلفة التي يمكن أن تكلفتها عند انتهاء الصلاحية ، واكتشفنا أنه في جميع الخيارات المستقبلية تكلف نفسها تمامًا. لذلك ، إذا كان لمحفظة أخرى نفس العائد بالضبط عند انتهاء الصلاحية ، فيجب أن يكون سعرها هو نفسه.

لذلك ، حصلنا على نسبة محفظة خيارات الشراء والبيع. لقد قمنا بتجميع محفظة ، وفحصنا نوع السداد الذي ستحصل عليه في وقت انتهاء الصلاحية ، واكتشفنا أن الدفع موصوف بمعادلة خطية واحدة. على عكس وظيفة الدفع لخيارات الشراء والبيع ، كل منها يحتوي على قسمين ، أكثر وأكثر

S_{T}

$S_T$ ... يسمح لك هذا ببناء محفظة من الأدوات الأبسط التي ستمنح نفس العائد عند انتهاء الصلاحية في أي موقف. سيكون سعر هاتين المحفظتين متساويًا في أي وقت ، وليس فقط في لحظة انتهاء الصلاحية. يتم ضمان ذلك بشرط عدم وجود موازنة في السوق. إذا كانت هناك موازنة في السوق ولم يتم استيفاء هذه المساواة ، فيمكننا بالتالي شراء واحدة من هذه المحافظ ، وبيع أخرى والحصول على ربح مضمون. لا تعتمد هذه النسبة على أي نماذج رياضية يمكننا بناءها ، على سبيل المثال ، لسعر الأصل الأساسي. يجب أن تتحقق هذه النسبة في أي نموذج.

يمكنك أيضًا النظر إلى هذه النسبة على هذا النحو. قمنا بتجميع محفظة من عدة أصول بنفس المخاطر. يمكن إعادة كتابة الصيغة لتجميع الأصول التي تحمل المخاطر المرتبطة بالأصل الأساسي من ناحية. أي أنه يمكننا القضاء على جميع المخاطر الكامنة في هذه الأدوات ، أي عدم اليقين المرتبط بالسعر المستقبلي للأصل الأساسي ، مع معرفة قيمة مثل هذه الحزمة بالضبط.

C_{t} - P_{t} - S_{t} = - B_{t} K

$C_t-P_t-S_t=-B_tK$

هذه الطريقة للتخلص من المخاطر تسمى التحوط . نقوم بتكوين محفظة من عدة أدوات يتم فيها تضمين بعض المخاطر نفسها ، ولكننا نختارها بنسب بحيث توازن هذه المخاطر بعضها مع بعض ونتخلص منها. تُستخدم هذه الفكرة في استراتيجيات تحوط أخرى أكثر تعقيدًا. الحالة قيد النظر بسيطة للغاية ، فهي تتيح لك العمل فقط مع مجموعة معينة من الخيارات.

إذا نظرنا إلى هذه الفكرة من الجانب الآخر ، فيمكننا التعبير عن إحدى هذه الأدوات من خلال أدوات أخرى. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا شيء واحد في السوق ، خيار الشراء ، فسنحصل تلقائيًا على خيار الشراء. في هذه الحالة ، سيكون النسخ المتماثل- قمنا بتكرار دفع منتج واحد من خلال منتجات أخرى. يرتبط التحوط والتكرار ارتباطًا وثيقًا ببعضهما البعض ، رياضياً ، إنهما حسابات متشابهة جدًا.

في هذه الحالة ، لدينا موقف بسيط للغاية ، ومن أجل التحوط تمامًا من المخاطر أو تكرار الدفع ، نحتاج فقط إلى إنشاء محفظة مرة واحدة ، ثم ننتظر حتى لحظة انتهاء الصلاحية ، يكون العائد مضمونًا بالفعل لنا. وهذا ما يسمى النسخ المتماثل الثابت ( التحوط الثابت). هذه حالة نادرة وعادة لا تعمل. من أجل تحقيق هذا التأثير بشكل عام ، سيكون من الضروري اللجوء إلى استراتيجيات تحوط ديناميكية. وهذا يعني أننا سننشئ محفظة مرة واحدة ، ولكن بعد ذلك سنحتاج باستمرار إلى إضافة شيء إليها أو تغيير شيء ما هناك حتى يظهر الدفع في وقت انتهاء الصلاحية تمامًا كما نريد.

هذه نسبة مثيرة للاهتمام للارتفاع المفاجئ. على الرغم من أن الرياضيات بسيطة جدًا ، يمكنك في مثاله رؤية العديد من الأفكار المهمة جدًا التي يتم تطبيقها في حالة أكثر تعقيدًا - تطبيق شرط عدم المراجحة ، وتكرار المدفوعات ، والتحوط من المخاطر. هذا هو المكان الذي ننتهي فيه من هذه العلاقة البسيطة ويمكننا الانتقال إلى بناء نموذج أكثر تعقيدًا.

نود أن نبني نموذجًا لا يعطي فقط النسبة بين خيارات الشراء والبيع ، ولكن أيضًا سعر الخيار كدالة للقيم الملاحظة في السوق. سيتطلب هذا نظرية رياضية أكثر تعقيدًا.

ما هي الحركة البراونية ومن هو روبرت براون. كيفية محاكاة الحركة البراونية على الكمبيوتر. ما هي الحركة البراونية الهندسية

ما رأيناه حتى الآن سمح لنا بالحصول على جهاز رياضي بسيط للغاية ، في الواقع ، الرياضيات المدرسية. للمضي قدمًا وبناء نموذج رياضي أكثر تعقيدًا ، لن يكون هذا كافيًا بالنسبة لنا ، وهناك حاجة لعناصر رياضيات "البالغين". لذلك ، سيبدو النهج العام لمزيد من العرض على النحو التالي: سأقدم أمثلة توضيحية من خلالها سيتضح كيف يعمل الجهاز الرياضي في حالة بسيطة ، وسأقدم أيضًا الصيغ والنظريات التي سنستخدمها. لن أثبت هذه النظريات. يمكن للمهتمين بالجزء الرياضي الرجوع إلى الكتب المدرسية ودورات الفيديو المقابلة.

المفهوم الأول الذي نحتاجه هو الحركة البراونية... لنتذكر ما يعنيه هذا المصطلح في الفيزياء. سيكون هذا نوعًا من الأمثلة الواضحة على كيفية ترتيب هذه العملية في نموذجنا الرياضي الرسمي.

أعتقد أن الكثير من الناس يستخدمون مصطلح " الحركة البراونية"المرتبطة بمنهج الفيزياء المدرسية. يعتقد الكثيرون أن الشخص الذي أدخل هذا المفهوم في التداول العلمي كان فيزيائيًا باسم براون ، واستناداً إلى اسمه الأخير ، كان رجلاً إنجليزيًا. ومن المثير للاهتمام أن كل هذه الافتراضات خاطئة. أولاً ، كان اسم هذا العالم روبرت براون ، والذي ينبغي قراءته باللغة الروسية باسم "روبرت براون". على الرغم من أن هذا قد لا يكون واضحًا بالنسبة لشخص متعلم في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر ، وكانت لغته الأجنبية الأولى هي الفرنسية والثانية الألمانية. ثانيًا ، لم يكن إنكليزيًا - لقد كان اسكتلنديًا ، وهو ، كما نفهم ، ليس نفس الشيء على الإطلاق. الشيء الأكثر إثارة للاهتمام هو أنه لم يكن فيزيائيًا - لقد كان عالم نبات. عندما أجرى ووصف تجربته الشهيرة ، كان يدرس جزيئات حبوب اللقاح تحت المجهر. تم تحضير العينة الموجودة على الشريحة على شكل قطرة سائل ، حيث تم وضع جزيئات حبوب اللقاح من أجلبحيث لا يطير حبوب اللقاح بعيدًا عن كل مسودة ويمكن مشاهدته بهدوء.

تم لفت انتباه براون إلى حقيقة أن ما يراه في عدسة المجهر ليس صورة ثابتة. لاحظ ، بشكل نسبي ، جسيمًا مستديرًا قام بحركة فوضوية. نحن نعلم اليوم أن هذه الظاهرة لها تفسير بسيط. هناك العديد من الجزيئات في المحلول حول هذا الجسيم ، والتي غالبًا ما تتفاعل معها في اتجاه عشوائي ، ونتيجة لذلك يقوم الجسيم بعمل نوع من الحركة المعقدة.

إذا صورنا حركتها ، فسيكون هناك مسار عشوائي.

ما علاقة هذا بمجال موضوعنا؟ في الواقع ، التشابه مباشر. نحن نأخذ في الاعتبار معدل الأصول المالية بمرور الوقت. هناك الكثير من العوامل العشوائية التي تؤثر عليه ، وكذلك على ذلك الجسيم ، في كل لحظة من الزمن. نحن لا نراهم ، تمامًا كما لم ير روبرت براون جزيئات فردية من خلال مجهر.

يؤدي التأثير التراكمي لهذه العوامل العشوائية إلى تغيير في مسار الأصل - تمامًا كما يؤدي التأثير التراكمي للجزيئات إلى إزاحة جسيم حبوب اللقاح. تحدث هذه العمليات بشكل مستمر في الوقت المناسب. وبالتالي يتم تحقيق معدل الأصل المالي. يتم الحصول على اعتماد الدورة على الوقت بشكل عشوائي ، وبالتالي يسمى هذا المسار بالحركة البراونية. في حالتنا ، هذه حركة براونية أحادية البعد ، حيث تحدث الانحرافات العشوائية حول محور واحد فقط.

يرتبط النموذج الرياضي الرسمي للعملية التي سنستخدمها باسم عالم آخر ، عالم الرياضيات الأمريكي نوربرت وينر. تبدو هكذا. نحن نفكر في وظيفة الوقت المستمر. بسبب ال

t

$t$ هو مستمر ، ثم الوظيفة

W (t)

$W(t)$ مستمر.

يحتوي على مكون عشوائي يتم تحديده رياضيا على النحو التالي:

△ W_{△ t}

$\triangle W_{\triangle t}$ - مستقل بشرط ألا تتقاطع الزيادات الزمنية.

زيادة الوظيفة من النقطة الزمنية

t

$t$ حتى اللحظة

t + s

$t+s$ موزعة بشكل طبيعي مع المعلمات 0 و

s

$s$ (طول الفاصل الزمني).

W_{t + s} - W_{t} \sim N (0, s)

$W_{t+s}-W_t∼N(0,s)$

فيما يلي ، سنرى أنه من المهم جدًا أن تكون قادرًا على إنشاء مثل هذه المسارات على جهاز كمبيوتر - وهذا ضروري للعديد من الأساليب الحسابية. كيف يمكن أن نفعل ذلك؟ الوقت ، وهو مستمر في نموذج رياضي نظري ، نقسمه على جهاز كمبيوتر إلى بعض الزيادات ، عادةً بخطوة ثابتة. نقوم بإنشاء نقطة انطلاق معينة تبدأ منها عمليتنا ، بالإحداثيات

W_{0}; t_{0}

$W_0;t_0$ ... بعد ذلك ، لكل خطوة زمنية لاحقة ، نقوم بإنشاء متغير عشوائي بهذا التوزيع ، وننقله خطوة واحدة. نحن نفعل هذا في كل نقطة. والنتيجة هي كسر خط.

في مكان ما ، تحولت الزيادة بعلامة زائد ، في مكان ما بعلامة ناقص. نتيجة لذلك ، في كل نقطة محددة ، يتم تحديد قيمة العملية بأكملها من خلال المجموع التراكمي لجميع هذه المتغيرات العشوائية. لكي نتمكن من قياس متوسط الإزاحة لكل وحدة زمنية ، يمكننا أيضًا تقديم معلمة إضافية ، يُشار إليها عادةً بالحرف

σ

$\sigma$ (بالنسبة للتوزيع الطبيعي). يمكننا النظر في الوظيفة

σ W_{t}

$\sigma W_t$ أين

W_{t}

$W_t$ هي الحركة البراونية القياسية ، و

W_{t}

$W_t$ له تباين أوسع أو أضيق ، اعتمادًا على ما نحتاج إليه.

مع وجود مثل هذه العملية ، نود بناء نموذج رياضي يساعدنا في حساب سعر الخيارات. دعونا نبني المعادلات وفقًا لنفس المبدأ كما فعلنا مع الاهتمام بالخصم في الوقت المستمر. سيكون هذا نوعًا من المعادلات التفاضلية.

لو كنا نحل مشكلة احتساب الفائدة على مبلغ معين

P

$P$ في وقت مستمر ، ثم لخطوة زمنية صغيرة سيكون لدينا العلاقة الصحيحة

△ P = r P △ t

$\triangle P=rP\triangle t$ أو

\frac{△ P}{P} = r △ t

$\frac{\triangle P}{P}=r\triangle t$ ،

أين

r

$r$ معدل فائدة محايد للمخاطر. والذهاب إلى الحد الأقصى

Δ t \to d_{t}

$Δt →d_t$ نحصل على المعادلة التفاضلية

\frac{d P}{P} = r d t

$\frac{dP}{P}=rdt$ ...

منه نحصل على الصيغة المألوفة بالفعل للخصم في وقت مستمر

P = P_{0} e^{r t}

$P=P_0e^{rt}$ أين

P_{0}

$P_0$ هي القيمة الأولية.

أرغب في تكييف منطق التفكير هذا مع نموذج رياضي للأصل ، يعتمد سعره في المستقبل على عوامل عشوائية. يتميز التغيير النسبي في سعر أصولنا بمعامل معين ، تناظري للمعدل المحايد للمخاطر (في هذه الحالة ، تميز المعلمة الأصول الأساسية لدينا ، وهي ليست معدل محايد للمخاطر). دعونا نضيف إلى هذا التعبير مكونًا احتماليًا يمكن وصفه بالحركة البراونية.

\frac{Δ S}{S} = μ Δ t + σ Δ W

$\frac{ΔS}{S}=μΔt+σΔW$

عمليا لدينا نتيجة. لننتقل إلى الحد الأقصى ونحصل على معادلة مشابهة جدًا للمعادلة التي حللناها بسهولة من أجل خصم الوقت المستمر.

\frac{d S}{S} = μ d t + σ d W

$\frac{dS}{S}=μdt+σdW$

لكن هناك مشكلة فنية. النقطة المهمة هي أن الحركة البراونية (عملية وينر) ، كما عرّفناها ، هي دالة مستمرة للوقت ، لكنها غير قابلة للتفاضل بمعنى التحليل الرياضي الكلاسيكي. يمكن إثبات ذلك رسميًا (نحذف الدليل).

من أجل بناء مثل هذا النموذج رياضيًا بصرامة ، من الضروري تحديد المعنى الذي نضعه في التعبير

d W

$dW$ ... لهذا ، من الضروري استخدام تفاضل عشوائي ، يرتبط اسمه باسم عالم رياضيات آخر - تفاضل إيتو . إنه يخضع لقواعد مختلفة عن تلك التي اعتدنا عليها في حساب التفاضل والتكامل التقليدي.

كمرجع ، سوف أكتب النتائج التي نحتاجها بخصوص هذا الجهاز الرياضي. يطيع تفاضل إيتو مثل هذه القواعد.

إذا

d x = a (x, t) d t + b (x, t) d W_{t}

$dx=a(x,t)dt+b(x,t)dW_t$ ،

ثم

f (x, t)

$f(x,t)$ :

d f = \frac{\partial f}{\partial t} d t + \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} d x^{2}

$df=\frac{∂f}{∂t}dt+\frac{∂f}{∂x}dx+\frac{1}{2}\frac{∂^2f}{∂x^2}dx^2$ ...

تختلف هذه القاعدة عن طريقة اشتقاق دالة لمتغيرين في حساب التفاضل والتكامل التقليدي. إذا كان لدينا متغيرين مستقلين ، في التفاضل والتكامل العادي ، نأخذ مشتقات جزئية ونتوقف عند أول حدين من التوسع. يظهر المكون الثالث لتوسيع تفاضل دالة في صيغة إيتو على وجه التحديد لأننا لا نعمل مع وظائف عادية ، ولكن مع عملية عشوائية عشوائية. نأخذ هذه النتيجة جاهزة دون إثباتها.

هناك المزيد ليقال عنه

d x^{2}

$dx^2$ في المعادلة الأخيرة. حسب الشرط

d x = a (x, t) d t + b (x, t) d W_{t}

$dx=a(x,t)dt+b(x,t)dW_t$ ، إذا قمنا بتربيعها ، فسيكون هناك شروط مع العوامل

d t d W_{t}

$dt dW_t$ و

d t^{2}

$dt^2$ و

d W_{t}^{2}

$dW^2_t$ ... لتطبيق صيغة Ito ، عليك أن تأخذ:

d t d W_{t} = 0

$dt dW_t=0$ ؛

d t^{2} = 0

$dt^2=0$ ؛

d W_{t}^{2} = d t

$dW^2_t=dt$ ...

تصبح كل هذه القواعد طبيعية إذا فهمت ما هو تكامل Ito ، ولكن لأغراضنا الآن يكفي معرفة كيفية تطبيق صيغة Ito بشكل صحيح.

والآن يمكننا التغلب على تعقيدنا التقني ، لأننا نعرف كيفية التعامل مع شيء ما

σ d W

$σdW$ ...

كمتغير

x

$x$ لدينا معدل الأصول الأساسي

S

$S$ ، يمكننا التعبير عنها:

d S = S μ d t + σ S d W_{t}

$dS=Sμdt+σSdW_t$ ...

بعد ذلك ، نعرف كيف نكتب تفاضل الدالة حيث توجد

S

$S$ و

t

$t$ ... دعونا نرى ما هو تفاضل الدالة

f (S, t) = l n (S)

$f(S, t)=ln⁡(S)$ ...

d l n S = d f = \frac{\partial f}{\partial t} d t + \frac{\partial f}{\partial S} d S + \frac{1}{2} \frac{d^{2} f}{d S^{2}} d S^{2} =

$dln S = df = \frac{∂f}{∂t}dt+\frac{∂f}{∂S}dS+\frac{1}{2}\frac{d^2f}{dS^2}dS^2=$

= 0 d t + \frac{1}{S} (S μ d t + σ S d W_{t}) - \frac{1}{2} \frac{1}{S^{2}} σ^{2} S^{2} d t

$=0 dt+\frac{1}{S}(Sμdt+σSdW_t)-\frac{1}{2}\frac{1}{S^2}\sigma^2 S^2 dt$

الآن ، بجمع الحدود ، نحصل على مقدار للوغاريتم

S

$S$ ...

d ㏑ S = (μ - \frac{σ^{2}}{2}) d t + σ d W

$d㏑S=(μ-\frac{\sigma^2}{2})dt+σdW$

الآن نعرف ما يساوي

㏑ S

$㏑S$ (لاحظ أن توزيعها طبيعي). نحن مهتمون مباشرة بالتعبير عن

S

$S$ ...

S = S_{0} e^{μ t} e x p (σ W_{t} - \frac{σ^{2}}{2} t)

$S=S_0 e^{μt}exp(σW_t-\frac{\sigma^2}{2}t)$

يصف التعبير أعلاه الحركة البراونية الهندسية . إنه يمثل بعض النمو الأسي مع المعلمة

μ

$\mu$ التي تبدأ في البداية من نقطة

S_{0}

$S_0$ ، ويتم فرض الضوضاء حول هذا الأس وفقًا للتعبير

e x p (σ W_{t} - \frac{σ^{2}}{2} t)

$exp(\sigma W_t-\frac{\sigma^2}{2}t)$ ... يمكن بالفعل قراءة هذا على جهاز كمبيوتر ، يمكننا إنشاء مسارات للحركة البراونية. سوف نحصل على بعض الإنجازات الممكنة لمسارنا لسعر الأصول الأساسي. هناك نوعان من المعلمات في هذه المعادلة:

σ

$\sigma$ - التباين و

μ

$\mu$ - المغزى. تتوافق مع تباين التوزيع الطبيعي وانحياز التوزيع الطبيعي لـ

㏑ S

$㏑S$ ... كما قلت ، من الممكن الآن المحاكاة على جهاز كمبيوتر ، لكن هناك عنصرًا نظريًا آخر نحتاج إلى تقديمه حتى نتمكن من حساب سعر الخيارات باستخدام هذه العملية. بعد ذلك سنتحدث عن مقياس محايد للمخاطر.

جميع المقالات في هذه السلسلة

الخيارات: تحوم وضع المكالمة ، حركة براونية. برنامج تعليمي للمهوس الجزء السابع

تحوم وضع المكالمة. مثال على استخدام شرط عدم المراجحة لتحليل سعر محفظة الأدوات

ما هي الحركة البراونية ومن هو روبرت براون. كيفية محاكاة الحركة البراونية على الكمبيوتر. ما هي الحركة البراونية الهندسية

More articles: