حصل ثلاثة علماء رياضيات على إجابة للسؤال الأساسي حول المسارات المستقيمة على مادة صلبة أفلاطونية ذات 12 جانبًا
على الرغم من حقيقة أن علماء الرياضيات يبلغون من العمر أكثر من 2000 عام [ وربما أكثر / تقريبًا. ترجمة. ] تحليل بنية خمسة متعددة السطوح العادية (المواد الصلبة الأفلاطونية) - رباعي السطوح ، سداسي الوجوه (مكعب) ، ثماني السطوح ، ثنائي الوجوه وعشري الوجوه - ما زلنا لا نعرف الكثير عنها.
وهكذا أجاب ثلاثة علماء رياضيات على أحد أبسط الأسئلة حول ثنائي الوجوه.
لنفترض أنك تقف على أحد رؤوس مجسم منتظم متعدد السطوح. هل هناك مسار مباشر يمكن للمرء أن يعود على طوله إلى نقطة البداية دون المرور بأي من القمم الأخرى؟ لجعل أربعة المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية الأخرى من مربعات أو مثلثات متساوية الأضلاع - رباعي الوجوه، المكعب، المجسم الثماني، والعشروني الوجوه - علماء الرياضيات في الآونة الأخيرة نظرا لإجابة سلبية على هذا السؤال. أي مسار مستقيم يبدأ من أحد الرؤوس إما أن يصطدم برأس آخر ، أو سيلتف إلى الأبد على طول سطح الشكل ، ولن يعود أبدًا إلى نقطة البداية. ومع ذلك ، لم يعرف علماء الرياضيات ما يمكن توقعه من اثني عشر وجهًا مكونًا من 12 خماسيًا.
الآن أظهر Jadev Atreya و David Olicino و Patrick Hooper أن هناك بالفعل عددًا لا حصر له من هذه المسارات على ثنائي الوجوه . على الورق ، التي نشرت في مايو الماضي في مجلة التجريبية والرياضيات، وتبين أن هذه المسارات يمكن بطبيعة الحال أن تقسم إلى 31 عائلة.
يتطلب إيجاد حل استخدام التكنولوجيا الحديثة وتجميع خوارزميات الكمبيوتر. منذ حوالي عشرين عامًا ، كان هذا السؤال بعيد المنال ؛ قبل 10 سنوات ، كان الأمر يتطلب جهدًا لا يُصدق لكتابة جميع البرامج اللازمة ؛ وكتب أنطون زوريش من معهد جاسي الرياضي في باريس في رسالة بالبريد الإلكتروني "اليوم فقط اجتمعت جميع العوامل معًا".
بدأ هذا المشروع في عام 2016 ، عندما بدأ أتريا من جامعة واشنطن وأوليسينو من كلية بروكلين اللعب بمجموعة من الأشكال المسطحة التي تطوى في مجسم منتظم متعدد الوجوه. أثناء تجميع متعدد السطوح ، أدرك أوليسينو أن المادة المتراكمة مؤخرًا على هندسة المستوى قد تكون مفيدة لفهم المسارات المستقيمة على ثنائي الوجوه. قال عتريا: "لقد قمنا حرفياً بتجميع هذه القطع من قطع متناثرة". "تزامن الفضول البسيط للباحثين مع فرصة جديدة."
بالتعاون مع Hooper من City College في نيويورك ، اكتشف الباحثون كيفية تصنيف جميع المسارات المستقيمة التي تنطلق من إحدى الزوايا وتصل إليه ، متجاوزين الزوايا الأخرى.
تحليلهم "حل أنيق" ، على حد تعبير هوارد مازور .من جامعة شيكاغو. "هذه واحدة من تلك الحالات التي أستطيع أن أقول فيها دون تردد: واو ، لماذا لم أفعل!"
التماثلات الخفية
على الرغم من أن علماء الرياضيات كانوا يتحدثون عن المسارات المستقيمة على الاثني عشر وجهًا لأكثر من قرن ، فقد انتعش الاهتمام بهذا الموضوع في السنوات الأخيرة بفضل المعرفة الجديدة المكتسبة في مجال "أسطح النقل". تتشكل هذه الأسطح عن طريق لصق الجوانب المتوازية من متعدد السطوح. لقد أثبتوا أنهم مفيدون للغاية في استكشاف مجموعة واسعة من الموضوعات المتعلقة بالمسارات المستقيمة التي تتبع الأشكال ذات الزوايا - من مسارات كرات البلياردو إلى الأسئلة حول ما إذا كان شعاع واحد من الضوء يمكن أن يضيء غرفة بأكملها بجدران عاكسة.
الفكرة الأساسية في كل هذه المهام هي فتح الشكل بحيث يصبح من السهل دراسة المسارات التي تتبعه. لفهم المسارات المستقيمة على طول متعدد السطوح العادي ، يمكنك البدء بقطع حواف كافية بحيث يمكن توسيعها على مستوى ، وتشكيل شبكة ، كما يقول علماء الرياضيات. إحدى شبكات المكعب ، على سبيل المثال ، هي على شكل "T" تتكون من ستة مربعات.
ورقة اثنا عشر وجهًا صُنعت عام 2018 بواسطة David Olicina و Jadev Atreya لإثبات القدرة على قيادة مسار من رأس واحد إلى الخلف دون عبور الآخرين.
تخيل أننا أجرينا مسحًا للثني عشر وجهًا ، ونحن الآن نسير على طوله في اتجاه معين. عاجلاً أم آجلاً سوف نتعثر على حافة الشبكة ، وبعد ذلك سيقفز طريقنا إلى البنتاغون المجاور (الذي تم لصقه بالتيار قبل أن نقطع اثنا عشر وجهًا). عند القفز ، يتحول المسار في نفس الوقت عبر زاوية ، يمكن تقسيم قيمتها على 36 درجة.
لتجنب كل هذه القفزات والانعطافات ، عندما نلتقي بالحافة ، يمكننا لصق نسخة جديدة مستديرة من الشبكة عليها ومتابعة السير بشكل مستقيم. ثم نضيف التكرار: سيكون لدينا خماسيان مختلفان ، يرمزان إلى البنتاغون للثنائي الوجوه الأصلي. لقد عقدنا عالمنا ، لكننا بسطنا طريقنا. يمكننا الاستمرار في إضافة شبكة جديدة في كل مرة نحتاج فيها إلى تجاوز حدود عالمنا.
بحلول الوقت الذي يمر فيه مسارنا عبر 10 شبكات ، سنقوم بتدوير شبكتنا الأصلية بكل الزوايا الممكنة القابلة للقسمة على 36 ، وسيتطابق اتجاه الشبكة التالية التي نضيفها مع تلك التي بدأنا بها. اتضح أن الشبكة الحادية عشرة يتم الحصول عليها من الأصل عن طريق تحول بسيط - كما يقول علماء الرياضيات ، عن طريق النقل. بدلاً من لصق الشبكة 11 ، يمكننا ببساطة لصق حافة الشبكة العاشرة بالحافة الموازية المقابلة للشبكة الأصلية. لن يكون شكلنا مسطحًا بعد الآن ، ولكن يعتقد علماء الرياضيات أنه "يتذكر" الهندسة المسطحة لتجسدها السابق - لذلك ، على سبيل المثال ، تعتبر المسارات مستقيمة إذا كانت مستقيمة على شكل لم يتم لصقها بعد. بعد الانتهاء من جميع عمليات الإلتصاق الممكنة للحواف المتوازية المقابلة ، نحصل على ما يسمى. سطح النقل.
رسم أتريا وشم نفسه على يده اليمنى سطح النقل المفضل لديه - البنتاغون المزدوج.
السطح الناتج هو تمثيل زائد عن الحاجة للثني عشر الوجوه ، حيث تشارك فيه 10 نسخ من كل خماسي. واتضح أنه أكثر تعقيدًا - تم لصقها معًا على شكل كعكة مع 81 ثقبًا. ومع ذلك ، سمح هذا الشكل المعقد للباحثين الثلاثة بفهم النظرية الغنية لأسطح النقل.
في مواجهة مثل هذا السطح الضخم ، شمر علماء الرياضيات عن سواعدهم - مجازيًا وحرفيًا. بعد العمل معها لعدة أشهر ، أدركوا أن سطح الدونات المكون من 81 حفرة يشكل عرضًا زائدًا ليس فقط للثني عشر الوجوه ، ولكن أيضًا أحد أسطح النقل الأكثر شيوعًا. هذا خماسي مزدوج ، يتم الحصول عليه عن طريق لصق اثنين من البنتاغون على طول أحد الحواف ، ثم لصق جميع الجوانب المتوازية لعمل دونات بفتحتين ومجموعة كبيرة من التماثلات.
أيضا ، هذا الرقم موشوم على ذراع أتريا. قال أتريا ، الذي حصل على الوشم قبل عام من أن يبدأ هو وأوليسينو في التفكير في الاثني عشر الوجوه: "لقد عرفت بالفعل وأحببت هذا البنتاغون المزدوج".
نظرًا لأن البنتاغون المزدوج والاثني عشر الوجوه هما أبناء عمومة هندسيان ، فإن درجة عالية من التناظر للأول يمكن أن تساعد في فهم بنية الأخير. قال أليكس إسكين من جامعة شيكاغو (الذي نصح أتريا بشأن أطروحة الدكتوراه قبل 15 عامًا): "هذا تناسق كامن رائع" . "أن يكون للثني عشر الوجوه مجموعة تناظر كامنة أمر رائع للغاية."
يشارك Jadev Atreya طريقة حله هو وزملاؤه للمشكلة الطويلة الأمد المتمثلة في إيجاد مسارات مستقيمة على الاثني عشر وجهًا ،
وقد سمحت العلاقة بين هذه الأسطح للباحثين بالاستفادة من خوارزمية تحليل سطح النقل شديدة التناسق التي طورتها ميريام فينستر من معهد كارلسروه للتكنولوجيا. من خلال تكييف الخوارزمية ، تمكن الباحثون من العثور على جميع المسارات المباشرة على الاثني عشر الوجوه التي تخرج وتعود إلى قمة واحدة ، وتصنيفها بناءً على التماثلات الخفية للثنائي الوجوه.
يصف أتريا هذا التحليل بأنه "أحد أكثر المشاريع إثارة للاهتمام في حياتي المهنية بأكملها." يقول Jadev أنه من المهم للغاية اللعب باستمرار بأشياء مختلفة.
وقال إسكين إن النتيجة الجديدة تشير إلى أنه حتى تلك الأشياء التي درسها الناس لآلاف السنين ، قد تكون هناك أسرار تختبئ. "أعتقد أنه حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات الثلاثة ، كان من المفاجئ أنهم تمكنوا من قول شيء جديد عن ثنائي الوجوه."