تقريب بسيط وسريع للوظائف الإحصائية

مهمة. توجد آلة حاسبة ، لكن لا توجد جداول إحصائية في متناول اليد . على سبيل المثال ، أنت بحاجة إلى جداول النقاط الحرجة لتوزيع الطالب لحساب فاصل الثقة. الحصول على جهاز كمبيوتر مع Excel؟ ليس رياضي.

ليست هناك حاجة إلى دقة كبيرة ، يمكنك استخدام الصيغ التقريبية. فكرة الصيغ أدناه هي أنه من خلال تحويل الحجة ، يمكن تقليل جميع التوزيعات بطريقة ما إلى الوضع الطبيعي. يجب أن توفر التقديرات كلاً من حساب دالة التوزيع التراكمي وحساب الدالة العكسية.

لنبدأ بالتوزيع الطبيعي.

$$

$$\Phi(z)=P=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

$$

$$z=\Phi^{-1}(P)=\sqrt{2}\cdot\mathrm{erf}^{-1}(2P-1)$$

يتطلب حساب الوظيفة $$$\mathrm{erf}(x)$والعكس. لقد استخدمت التقريب [1]:

$$

$$\mathrm{erf}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{1-\exp\left(-x^{2}\cdot\frac{\frac{4}{\pi}+ax^{2}}{1+ax^{2}}\right)}$$

$$

$$\mathrm{erf}^{-1}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{-t_2 + \sqrt{t_2^{2}-\frac{1}{a}\cdot \ln t_1}}$$

$$$t_1$ $$$t_2$ — :

$$

$$t_1=1-x^{2},\:t_2=\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln t_1}{2}$$

$$$a=0.147$. Octave.

function y = erfa(x)
  a  = 0.147;
  x2 = x**2; t = x2*(4/pi + a*x2)/(1 + a*x2);
  y  = sign(x)*sqrt(1 - exp(-t));
endfunction

function y = erfinva(x)
  a  = 0.147; 
  t1 = 1 - x**2; t2 = 2/pi/a + log(t1)/2;
  y  = sign(x)*sqrt(-t2 + sqrt(t2**2 - log(t1)/a));
endfunction

function y = normcdfa(x)
  y = 1/2*(1 + erfa(x/sqrt(2)));
endfunction

function y = norminva(x)
  y = sqrt(2)*erfinva(2*x - 1);
endfunction

, , t- [2]:

$$

$$F_t(x,n)=\Phi\left(\sqrt{\frac{1}{t_1}\cdot\ln(1+\frac{x^{2}}{n})}\right)$$

$$

$$t=F_t^{-1}(P,n)=\sqrt{n\cdot\exp\left(\Phi^{-1}(P)^{2}\cdot t_1\right)-n}$$

$$$t_1$

$$

$$t_1=\frac{n-1.5}{(n-1)^{2}}$$

function y = tcdfa(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
 y = normcdfa(sqrt(1/t1*log(1 + x**2/n)));
endfunction

function y = tinva(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
  y  = sqrt(n*exp(t1*norminva(x)**2) - n);
endfunction

$$$\chi^{2}$ [3]:

$$

$$\sigma^{2}=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^{2}$$

$$

$$F_{\chi^{2}}(x,n)=\Phi\left(\frac{\left(\frac{x}{n}\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

$$

$$\chi^2=F_{\chi^2}^{-1}(P,n)=n\cdot\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma + \mu\right)^3$$

function y = chi2cdfa(x,n)
  s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y  = normcdfa(((x/n)**(1/3) - mu)/sqrt(s2));
endfunction

function y = chi2inva(x,n)
 s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y = n*(norminva(x)*sqrt(s2) + mu)**3;
endfunction

( $$$n/k\geq3$ $$$n\geq3$) . $$$\chi^2$ [4], , .

$$

$$\sigma^2=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^2$$

$$

$$\lambda=\frac{2n+k\cdot x/3+(k-2)}{2n+4k\cdot x/3}$$

$$

$$F_f(x;k,n)=\Phi\left(\frac{\left(\lambda\cdot x\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

, .

$$

$$q=\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma+\mu\right)^3$$

$$

$$b=2n+k-2-4/3\cdot kq$$

$$

$$D=b^2+8/3\cdot knq$$

$$

$$x=F_f^{-1}(P;k,n)=\frac{-b+\sqrt{D}}{2k/3}$$

function y = fcdfa(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  lambda = (2*n + k*x/3 + k-2)/(2*n + 4*k*x/3);
  normcdfa(((lambda*x)**(1/3)-mu)/s)
endfunction

function y = finva(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  q = (norminva(x)*s + mu)**3;
  b = 2*n + k-2 -4/3*k*q;
  d = b**2 + 8/3*k*n*q;
  y = (sqrt(d) - b)/(2*k/3);
endfunction

1. سيرجي وينيتسكي. تقريب عملي لدالة الخطأ ومعكوسها. 6 فبراير 2008.
2. Gleason JR ملاحظة حول التقريب التقريبي للطالب // الإحصاء الحسابي وتحليل البيانات. - 2000. - المجلد. 34. - لا. 1. - ص. 63-66.
3. Wilson EB ، Hilferty MM توزيع chi-square // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 1931. - المجلد. 17. - لا. 12. - ص. 684-688.
4. Li B. و Martin EB تقريب لتوزيع F باستخدام توزيع مربع كاي. الإحصاء الحسابي وتحليل البيانات. - 2002. المجلد. 40. - لا. 1. ص. 21-26.