الهندسة العفوية هي مجال دراسة جديد نسبيًا ، تؤثر على الكثير من الرياضيات الحديثة. وهذا ما هو عليه.
في أوائل القرن التاسع عشر ، اكتشف ويليام روان هاميلتون مساحة هندسية جديدة بخصائص شبه سحرية. قامت بتشفير الحركة والرياضيات في كائن هندسي واحد جميل.
نشأ مجال معرفي يسمى الهندسة السمعية من هذه الظاهرة . في العقود القليلة الماضية ، نمت من مجموعات قليلة من الأفكار إلى مجال ديناميكي للبحث مع روابط عميقة إلى المزيد من الموضوعات في الرياضيات والفيزياء التي بالكاد كان هاملتون يتخيلها.
الهندسة العاكسة ، في الواقع ، هي دراسة المساحات الهندسية للبنية العطفية. ومع ذلك ، يجب توضيح ما يعنيه أن للفضاء هيكل - ناهيك عن أي هيكل معين.
يمكن أن تكون المساحات الهندسية مرنة مثل قماش القنب أو صلبة مثل الخيمة. قالت إيمي مورفي من جامعة نورث وسترن: "القماش المشمع مرن ، لكن إذا أخذت مجموعة من العصي وأطرتها ، تحصل على هيكل أكثر استقرارًا"
المساحات الأقل تنظيمًا هي مجرد مجموعة من النقاط المتصلة (مثل قماش القنب). الخط المستقيم هو مثال على الفضاء أحادي البعد من هذا النوع. سطح الكرة هو مثال ثنائي الأبعاد. نظرًا لعدم وجود هيكل في هذه المساحات ، فمن السهل تشويهها دون تغيير على المستوى الأساسي. منحنى خط مستقيم تضخم ، تجعد ، لف الكرة - من وجهة نظر الطوبولوجيا ، ودراسة المساحات غير المهيكلة ، لن تتغير.
قال عيسى كيتنغ من جامعة كامبريدج: "من وجهة نظر الطوبولوجيا ، بدءًا بسطح الكرة ، يمكنك شدها كما تشاء ، وحتى تمزقها ، لا تتغير هذه المساحة بالنسبة لهم" . "إنهم مهتمون بالخصائص العامة للشخصية".
بطبيعة الحال ، عندما يتحدث علماء الرياضيات عن تشوه الفضاء ، فإنهم لا يقصدون تغييره يدويًا. يغيرون المسافات باستخدام الوظائف: تتضمن الوظيفة إحداثيات نقطة ، وإحداثيات نقطة جديدة تظهر. مثل هذه التحولات تترجم أي نقطة في الفضاء إلى نقطة جديدة. هذا هو المعادل الرياضي لهز قماش القنب.
يمكنك إضافة هيكل إلى الفضاء. يعزز هذا الهيكل المعلومات الواردة في الفضاء ، مع الحد من احتمالات تشوهها.
مساحة غير منظمة: سطح الكرة عبارة عن مساحة ثنائية الأبعاد. يعطي غياب الهيكل فرصًا كبيرة لتشوهه دون تغيير خصائصه الطوبولوجية.
إضافة الهياكل: بإضافة هيكل متري إلى الفضاء - دعنا نقول ، مثل خطوط الطول والعرض على الكرة الأرضية - يمكننا قياس المسافة بين النقاط. ولكن بعد ذلك لن يكون هناك سوى مجموعة صغيرة من الخيارات لتشويه الكائن التي لا تنتهك هذه المسافات.
يمكنك ، على سبيل المثال ، إضافة هيكل متري إلى سطح الكرة ، مثل خطوط الطول والعرض على الكرة الأرضية. سيسمح لنا هذا الهيكل بقياس المسافات بين النقاط. ولكن بعد تطبيقه ، لن يكون من الممكن نفخ الكرة أو تجعدها دون كسر الهيكل الأصلي - بعد كل شيء ، سنقوم بتغيير المسافات بين النقاط. إذا نفخنا البالون ، فستزداد المسافة بين نيويورك ولندن ، على سبيل المثال.
يمكننا إضافة نوع آخر من البنية - عاطفي. يمنحنا القدرة على قياس المساحات في الفضاء ، ويسمح لنا بتغيير شكل الفضاء حتى لا تتغير هذه المناطق.
وجد هاملتون المثال الأول لمثل هذا الفضاء أثناء دراسة الأنظمة الفيزيائية- على سبيل المثال ، حركات الكواكب. عندما يتحرك كوكب في الفضاء ، يتم تحديد موقعه من خلال ثلاثة إحداثيات تحدد موقعه على محاور x و y و z. تشكل النقاط التي تمثل جميع مواقع الكواكب الممكنة مساحة ثلاثية الأبعاد.
اكتشف هاميلتون أنه يمكن تخصيص ثلاثة إحداثيات إضافية لكل نقطة في هذا الفضاء ثلاثي الأبعاد ، مما يدل على حجم زخم الكوكب على طول المحاور الثلاثة. لنسميها x m و y m و z m . لدينا الآن ستة إحداثيات: ثلاثة للموقع وثلاثة للزخم. تحدد هذه الإحداثيات الستة نقطة في الفضاء الجديد ذي الأبعاد الستة.
لدينا ستة إحداثيات: ثلاثة للموقع وثلاثة للزخم. تحدد هذه الإحداثيات الستة نقطة في الفضاء الجديد ذي الأبعاد الستة.
هذا الفضاء السداسي الأبعاد هو مثال على الفضاء بهيكل عاطفي ، لأنه لديه القدرة على قياس المناطق. وإليك كيف يعمل.
في كل نقطة في الفضاء ، يمكنك رسم ستة متجهات (أسهم اتجاهية) تتوافق مع اتجاه الحركة أو الزخم للكوكب على طول البعد الذي يشير إليه المتجه. نظرًا لأن متجهين يشكلان متوازي أضلاع - مساحة ثنائية الأبعاد بمساحة غير صفرية - يمكنك أخذ متجهين وقياس تلك المساحة.
للتأكد من أن القيمة ليست صفرية ، يجب أن تأخذ أزواجًا معينة من المتجهات - للإشارة إلى اتجاه الحركة والزخم على طول المحور نفسه. متجهات غير متطابقة ، على سبيل المثال ، متجه اتجاه المحور z مع متجه زخم المحور y يعطي متوازي أضلاع بمساحة صفر.
تعكس أزواج المتجهات هذه أيضًا خاصية مهمة أخرى للفضاء العيني - علاقتها بالأرقام المركبة. هذه الأرقام لها i ، الجذر التربيعي لـ -1 ، وهي على شكل a + bi ، حيث a حقيقي و b تخيلي. تتمثل إحدى طرق تحديد الفضاء العفوي سداسي الأبعاد في تحديد ثلاثة أرقام مركبة ، جزءان من كل منهما يعطي إحداثيًا واحدًا. يتطابق هذان الجزءان أيضًا مع المتجهين اللذين نجمعهما لقياس المساحة.
لذلك بالنسبة لكل نقطة ، على سبيل المثال ، متجهات اتجاه الحركة والزخم ، المرسومة على طول المحور السيني ، لا توفر فقط طريقة لقياس المنطقة ، ولكنها أيضًا تشكل واحدًا من الأرقام المركبة الثلاثة التي تحدد الفضاء. تنعكس هذه العلاقة في الاسم ، لأن كلمة "symplectic" مشتقة من الكلمة اليونانية sumplektikós ، والتي تعني نفس المركب اللاتيني - "متشابك معًا". يعكس الاسم تشابك البنية العفوية والأرقام المركبة.
إنه أيضًا أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل الفضاء العاطفي يستحوذ على خيال علماء الرياضيات. قال مورفي: "كان علماء الرياضيات مهتمين بالفعل بالأعداد المركبة وحركات الكواكب". "لذا إذا أخبرت عالم رياضيات عن وجود الهندسة ، مما يوضح سبب اختلاف هذين الأمرين عن نفس البنية الأساسية ، فسيكون بالتأكيد مهتمًا بهذه المسألة."
تدرس الهندسة العطفية تحولات المساحات التي تحافظ على هيكلها العفوي ولا تغير حجم المناطق. لا يعطي هذا القيد مساحة كبيرة للتحولات المسموح بها. نتيجة لذلك ، تحتل الهندسة الوهمية موقعًا وسيطًا بين طوبولوجيا القماش المشمع المرن وهندسة الخيام الصلبة. تسمى التحولات التي تحافظ على البنية العفوية ، بعد المكتشف ، أشكال الاختلافات الهاميلتونية .
ومع ذلك ، اكتشف هاميلتون المثال الأول فقط من الفضاء العاطفي ، ولم يكن هناك سبب للتعمق في هذا الأمر. سرعان ما بدأ علماء الرياضيات في التفكير في الشكل الذي قد تبدو عليه الظواهر العطفية في المساحات الهندسية غير المرتبطة بالعالم المادي.
"يسعى علماء الرياضيات دائمًا إلى التعميمات ، ونريد أن نسأل: كيف ستبدو الميكانيكا الكلاسيكية إذا كنا لا نعيش في فضاء ثلاثي الأبعاد ، ولكن في فضاء ثماني الأبعاد؟" قال مورفي.
طرح فلاديمير إيغورفيتش أرنولد عدة فرضيات أساسية في مجال الهندسة الوهمية
في الستينيات ، فلاديمير إيغوريفيتش أرنولدطرح العديد من الفرضيات المؤثرة التي تصف خصائص معينة للفضاء العيني تجعلها أكثر صلابة من تلك الطوبولوجية العادية. أحدها ، تخمين أرنولد على نقاط ثابتة من الأشكال العفوية ، يتنبأ بأن الأشكال المختلفة لهاملتونيان لها عدد كبير بشكل غير متوقع من النقاط "الثابتة" التي لا تغير موقعها أثناء التحولات. عند دراستها ، يمكننا أن نقول على وجه اليقين ما الذي يميز الفضاء العفوي عن الأنواع الأخرى من المساحات الهندسية.
في أواخر الثمانينيات ، عالم الرياضيات الألماني أندرياس فلورطوروا homology العائمة ، وهي منصة قوية يستخدمها علماء الرياضيات اليوم لدراسة الظواهر العطفية. إنها تستخدم ما يسمى ب. المنحنيات الزائفة الشكل ، والتي تسمح بشكل غير مباشر لعلماء الرياضيات بحساب عدد النقاط الثابتة ، وتحديد عدد أدنى معين منها يجب أن يكون في الفضاء العفوي.
قال كيتنغ: "يُظهر التماثل العائم أنه لا يمكنك فقط إسقاط النقاط الثابتة". "يسمح لك بإثبات أن هذه النقاط يجب أن تكون موجودة."
مع تطور نظرية الهندسة العطفية ، تم العثور على صلات بطيف متزايد باستمرار من الموضوعات في الرياضيات والفيزياء ، من نظرية الأوتار إلى الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ودراسة الازدواجية الرياضية المربكة التي تسمى تناظر المرآة. أحد الأمثلة الحديثة لتطبيق الهندسة العفوية هو حل المشكلة الطوبولوجية للأوتاد المربعة .
لكن بالنسبة للعديد من علماء الرياضيات ، فإن جاذبية الهندسة العطفية لا علاقة لها بتقاطعاتها مع الفيزياء أو مجالات الرياضيات الأخرى. إنهم يعتبرون وجودها بحد ذاته معجزة. قال مورفي: "نبدأ في العثور على الجمال في الهيكل نفسه ، بغض النظر عن صلاته بأي شيء آخر".