دليل جديد يقرب علماء الرياضيات من تأكيد فرضية إردوس المفضلة

أثبت عالمان رياضيان المرحلة الأولى من تخمين إيرديس المفضل حول أنماط تسلسل الأرقام

أثبت اثنان من علماء الرياضيات الجزء الأول من واحدة من أشهر الفرضيات المتعلقة بالخصائص المضافة للأعداد الصحيحة. تم اقتراحه منذ أكثر من 60 عامًا من قبل عالم الرياضيات المجري الأسطوري بال إردوس . يبدو الأمر على هذا النحو: عند أي نقطة في قائمة لا نهائية من الأعداد الصحيحة يتم ضمان أنماط مكونة من ثلاثة أرقام على الأقل متباعدة على نفس المسافة من بعضها البعض - على سبيل المثال ، 26 و 29 و 32.



لقد صاغ إردوس آلاف المشكلات خلال حياته المهنية ، ولكن السؤال هو ، أي قائمة من الأرقام تحتوي على أرقام متساوية البعد عن بعضها البعض (ما يسميه علماء الرياضيات بالتعاقب الحسابي) كانت واحدة من المفضلة لديه. قال تيموثي جورز من جامعة كامبريدج: "أعتقد أن الكثير من الناس رأوا أن هذا هو مصدر قلق Erds الرئيسي" . جاورز ، الذي تلقىجائزة فيلدز عام 1998 ، قضت ساعات طويلة في محاولة حل هذه المشكلة. قال ، "عمليًا ، حاولت جميع التركيبات المضافة الطموحة إلى حد ما حلها" ، مشيرًا إلى فرع الرياضيات الذي تنتمي إليه هذه الفرضية.



من المرجح بشكل عام أن تحتوي قوائم الأرقام الأكثر كثافة على تقدم حسابي أكثر من تلك المتفرقة. لذلك ، اقترح إردوس إجراء فحص بسيط لكثافة القائمة: أضف القيم العكسية لتلك الموجودة في القائمة. إذا كان هناك ما يكفي من الأرقام لجعل هذا المجموع غير محدود ، إذن ، وفقًا لإردوس ، يجب أن تحتوي القائمة على عدد لا حصر له من التدرجات الحسابية لأي طول محدد - ثلاثة ، أربعة ، إلخ. أرقام متتالية.



في ورقة بحثية نُشرت على الإنترنت في 7 يوليو من قبل توماس بلوم من كامبريدج وأولاف سيسسكمن جامعة ستوكهولم أثبتت هذه الفرضية في حالة ثلاثة توائم متباعدة بشكل متساوٍ من الأرقام ، مثل 5 و 7 و 9. أظهر هذا الزوج أنه عندما يكون مجموع التبادلات للأرقام في القائمة لانهائيًا ، يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من ثلاثة أضعاف من الأرقام المتباعدة بشكل متساوٍ.





قال توماس بلوم من كامبردج:



"هذه هي النتيجة الأكثر بروزًا في سنوات عديدة ،" قال نيتس كاتز من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا. "هذا حدث مهم".



إحدى المجموعات ، مجموع الأعداد المقلوبة التي تميل إلى اللانهاية ، هي الأعداد الأولية - تلك التي لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. في الثلاثينيات من القرن الماضي ، يوهانس فان دير كوربوتاستخدم هيكلًا خاصًا من الأعداد الأولية لإظهار أنه في الواقع يمكنك العثور على عدد لا حصر له من ثلاثة توائم متساوية المسافات (على سبيل المثال ، 17 و 23 و 29).



ومع ذلك ، فإن اكتشاف بلوم وسيساك الجديد يعني أن المرء لا يحتاج إلى فهم عميق للبنية الفريدة للأعداد الأولية لإثبات وجود عدد لا حصر له من الثلاثيات فيها. يكفي أن نعرف فقط أن هناك عددًا كافيًا من الأعداد الأولية ليكون مجموع قيمها المتبادلة غير محدود - وقد كان هذا معروفًا لعلماء الرياضيات لعدة قرون. كتب توم ساندرز : "تخبرنا نتيجة توماس وأولاف أنه حتى لو كان هيكلهم مختلفًا تمامًا عما لديهم بالفعل ، فإن مجرد وجود عدد كبير منهم سيضمن لا نهاية للتقدم الحسابي"من جامعة أكسفورد.



يتكون العمل الجديد من 77 صفحة ، وسيستغرق علماء الرياضيات بعض الوقت لفحصه بدقة. ومع ذلك ، فإن الكثيرين متفائلون حيال ذلك. قال كاتز ، الذي شكّل عمله المبكر أساسًا لذلك: "يبدو حقًا أن الدليل على هذا الادعاء يجب أن يبدو".



تقول نظرية بلوم وسيساك إنه إذا كانت قائمة الأرقام كثيفة بدرجة كافية ، فيجب أن تظهر أنماط معينة فيها. يتوافق هذا الاكتشاف مع الشعار الأساسي للرياضيات ، كما تسميه سارة بيلوس من أكسفورد ، والذي صاغه لأول مرة ثيودور موتسكين: "لا يوجد اضطراب مطلق".

الكثافة في التنكر

من السهل جدًا إنشاء قائمة لا نهائية بدون تسلسلات حسابية إذا جعلتها قليلة بما يكفي. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل 1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ، ... مجموع المقابل يصل إلى 1.111 (1). تنمو المسافة بين هذه الأرقام بسرعة كبيرة بحيث لا يمكن العثور على ثلاثة توائم واحدة من الأرقام الموجودة على مسافة متساوية من بعضها البعض.



ومع ذلك ، قد تتساءل عما إذا كانت هناك قائمة أكثر كثافة من الأرقام التي لا تزال لا تحتوي على تسلسلات حسابية. يمكنك ، على سبيل المثال ، السير على طول خط الأعداد وترك كل رقم غير مدرج في التدرجات الحسابية. نحصل على التسلسل 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 11 ، 13 ، 14 ، ... والذي يبدو للوهلة الأولى كثيفًا إلى حد ما. ومع ذلك ، بمرور الوقت ، يصبح الأمر أكثر تناثرًا - على سبيل المثال ، عندما نصل إلى أرقام مكونة من 20 رقمًا ، سنأخذ 0.000009٪ فقط من جميع الأعداد الصحيحة من خط الأعداد. في عام 1946 ، توصل فيليكس بيريند إلى أمثلة أكثر كثافة ، لكنها أيضًا أصبحت متناثرة بسرعة كبيرة - مجموعة Berend ، التي تصل إلى 20 رقمًا ، تحتوي فقط على 0.001٪ من جميع الأعداد الصحيحة.



من ناحية أخرى ، إذا كانت مجموعتك تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة تقريبًا ، فستحتوي بالتأكيد على متواليات حسابية. لكن بين هذين النقيضين توجد منطقة وسطى شاسعة لا تحمل أي علامات. إلى أي مدى يمكن أن تكون مجموعة متفرقة ، كما توقع علماء الرياضيات ، بحيث لا يزال من الممكن ضمان التقدم الحسابي هناك؟





أولاف سيسسك من جامعة ستوكهولم



قدم إردوس (كما يقولون ، ربما بالاشتراك مع عالم الرياضيات المجري بال توران) إجابة واحدة محتملة. شرط مجموع التبادلات هو الكثافة المقنعة. اتضح أن هذا هو نفس القول بأن كثافة القائمة حتى الرقم N لا تقل عن واحد مقسومًا على عدد الأرقام في N. بمعنى آخر ، قد تصبح قائمتك أكثر تناثرًا كلما تحركت على طول خط الأرقام ، ولكن فقط إذا يحدث ببطء شديد. بالنسبة للأرقام المكونة من 5 أرقام ، يجب أن تكون كثافة قائمتك 1/5 على الأقل ؛ على 20 رقمًا - على الأقل 1/20 ، وهكذا. وإذا تم استيفاء هذا الشرط ، فعندئذ ، كما اقترح إردوس ، يجب أن تحتوي قائمتك على عدد لا حصر له من التدرجات الحسابية بأي طول.



في عام 1953 ، وضع كلاوس روث علماء الرياضيات على الطريق المؤدي إلى إثبات تخمين إيرديس. في ورقة نالها جائزة فيلدز في ذلك العام ، حدد دالة كثافة تضمن ثلاثة توائم متساوية من الأرقام. لم تكن الكثافة منخفضة مثل كثافة Erds ، لكنها مع ذلك اقتربت من الصفر أثناء تحركنا على طول خط الأعداد. كانت نظرية روث تعني أنه في قائمة الأرقام التي تنخفض كثافتها في النهاية إلى أقل من 1٪ ، ثم إلى أقل من 0.1٪ ، ثم أقل من 0.01٪ ، وهكذا ، يجب أن يكون هناك تقدم حسابي ، إذا كانت كثافتها فقط تنخفض بدرجة كافية بطيء.





محاضرة بال إردوس "60 عامًا في الرياضيات" في جامعة كامبريدج في يونيو 1991.



بادئ ذي بدء ، استند نهج روث إلى حقيقة أن معظم القوائم ذات الكثافة التي اختارها "تريد" أن يكون لها تسلسلات حسابية - لديها عدد كافٍ من أزواج الأرقام المختلفة بحيث تظهر أيضًا بعض النقاط المتوسطة بين هذه الأزواج في هذه القائمة ، والتي من شأنه أن يؤدي إلى ظهور ثلاثة توائم متساوية. الحيلة هي كيفية الانتقال من قائمة "جميع" الأرقام تقريبًا إلى قائمة "جميع" الأرقام ، على الرغم من أنه كان من الممكن تصميم الهيكل بأكمله خصيصًا لتجنب التدرجات الحسابية.



بعد تلقي هذه القائمة ، اكتشف روث كيفية "تقطير" هيكلها من خلال ترميز "طيف التردد" باستخدام تحويل فورييه... يُظهر أي من الأنماط الناشئة هو الأكثر وضوحًا - نفس الرياضيات التي تقوم عليها تقنيات مثل التصوير البلوري بالأشعة السينية والتنظير الإشعاعي.



تظهر بعض الترددات أقوى من غيرها ، وتؤكد هذه الاختلافات على الأنماط الموجودة - على سبيل المثال ، قد يشير التردد إلى أن القائمة تحتوي على أرقام فردية أكثر من الأرقام الزوجية. إذا كان الأمر كذلك ، فيمكنك التركيز فقط على الأرقام الفردية ، والحصول على قائمة أكثر كثافة مقارنة بقائمة من الأرقام الفردية فقط. كان روث قادرًا على إظهار أنه بعد العديد من عمليات التقطير هذه ، ستكون القائمة كثيفة جدًا بحيث يجب أن تكون التتابعات الحسابية موجودة فيها.



لقد ألهم نهج روث العديد من الأوراق البحثية في نظرية الأعداد التحليلية على مدار الخمسين عامًا الماضية ، كما يقول جاكوب فوكس من جامعة ستانفورد. "أفكاره كانت مؤثرة للغاية".

لعبة ، مجموعة ، تطابق

ومع ذلك ، نجحت طريقة روث فقط مع تلك المجموعات من الأرقام التي كانت بالفعل كثيفة جدًا منذ البداية - وإلا فإن التقطير المستمر سيتبخر ببساطة كل الأرقام. كان علماء رياضيات آخرون يجدون باستمرار طرقًا لاستخدام هذه الطريقة بشكل أكثر فاعلية ، لكنهم لم يتمكنوا من الاقتراب من الكثافة الموضحة في فرضية Erds. قال فوكس: "بدت هذه العقبة صعبة للغاية".



ثم في عام 2011، كاتز ومايكل بيتمان برزت على كيفية التغلب على هذه العقبة في أبسط شروط: في لعبة بطاقة سيث، حيث يبحث اللاعبون عن مجموعات من ثلاث بطاقات مميزة برموز مختلفة. يمكن تعريف ثلاثة من لعبة Set على أنها تقدم حسابي ، وكما في حالة قائمة الأعداد الصحيحة ، يمكنك أن تسأل عن عدد البطاقات التي تحتاج إلى وضعها على الطاولة للعثور على ثلاثة واحدة على الأقل بالتأكيد.

مجموعة لعبة"

الهدف من اللعبة هو العثور على ثلاثة توائم خاصة من البطاقات ، أو "مجموعات" ، في مجموعة من 81 بطاقة. لكل بطاقة رسمها الخاص بأربع خصائص - اللون (أحمر ، أرجواني ، أخضر) ، الشكل (بيضاوي ، معين ، موجة) ، التظليل (مخطط تفصيلي ، خطوط ، مملوءة بالكامل) وعدد الأشكال (واحد ، اثنان أو ثلاثة). في اللعب العادي ، يتم توزيع 12 بطاقة مكشوفة على الطاولة ، ويبحث اللاعبون عن مجموعات من ثلاث بطاقات يكون فيها كل من السمات الأربعة إما متماثلًا لجميع البطاقات أو مختلفًا لجميع البطاقات. في حالة عدم وجود مثل هذه المجموعات من بين 12 بطاقة ، تتم إضافة المزيد من البطاقات.

سطح السفينة كله

, –

طريقة سهلة لبناء مجموعة كبيرة نسبيًا من البطاقات بدون ثلاثة توائم هي أن تأخذ فقط بطاقات تحتوي على خيارين أو ثلاثة خيارات فقط لكل سمة. سيكون حجم هذه المجموعة (2/3) ⁿ من المجموعة بأكملها ، حيث n هو عدد السمات.







هذا السؤال (المتعلق ليس فقط بلعبة Set القياسية ، ولكن أيضًا بإصداراتها الأكبر) هو نموذج طبيعي لدراسة السؤال المقابل فيما يتعلق بالأعداد الصحيحة. لذلك ، أمل علماء الرياضيات في أن الاختراق الذي حققه بيتمان وكاتز يمكن أن يفتح الطريق أمام إثبات تخمين إردوس ، خاصة عندما يقترن بالاختراقات الحديثة الأخرى . بعد فترة وجيزة من إطلاق عمل Bateman و Katz ، أطلق Gowers " مشروع Polymath- "بتعاون مشترك ضخم صمم لجعل هذه المحاولة.



، ومع ذلك، فإن المشروع توقف بسرعة" في ذلك جمعت كمية كبيرة من الحجج التقنية - قال غاور - هذا المشروع هو أكثر ملاءمة لشخص أو شخصين، لفترة طويلة وتعمل ببطء على ذلك ".



وبحلول لحسن الحظ ، كان اثنان من علماء الرياضيات يستعدان للتو لهذا. لقد بدأ بلوم وسيساك ، في البداية بشكل منفصل ، بالفعل في التفكير في فرضية Erds ، مفتونين بجمال التقنيات المستخدمة فيها. "كانت هذه واحدة من أولى مشكلات البحث التي واجهتها ،" قال Sisask ، الذي ، مثل بلوم ، يبلغ الآن حوالي 35 عامًا.



انضم بلوم وسيساك إلى قواهما في عام 2014 ، وبحلول عام 2016 قررا أنهما قريبان من حل. حتى أن بلوم أعلن هذا في محاضرته ، وبعد ذلك فقط اكتشف أن بعض الحلول التي وجدوها تبين أنها خاطئة. واصل الزوجان العمل ، والغوص في طريقة باتمان وكاتز ، وأدركا في النهاية ما هي الأفكار الجديدة التي ستسمح لهما بنقل هذه الطريقة من عالم سيث إلى عالم الأعداد الصحيحة.



قال كاتس إن العمل الجديد يبدو صحيحًا من جميع الزوايا. "لم أصدق تصريحاتهم السابقة ، لكنني أصدق ذلك."



وقال فوكس إن عمل بلوم وسيساك "إنجاز هائل". هم وغيرهم من علماء الرياضيات حريصون على معرفة ما إذا كانت تقنيات العمل الجديد تنطبق على مشاكل أخرى. قال فوكس: "أعتقد أن هذه الأساليب سيكون لها تأثير كبير على الرياضيات".



بالنسبة لفرضية إرد ككل ، فإن العمل عليها لا يزال بعيدًا عن الاكتمال. أثبت Bloom و Sisask هذه الفرضية فقط لثلاثة توائم من الأرقام متباعدة بشكل متساوٍ ، ولكن ليس للتقدم الحسابي الأطول - هذه المهمة لا تزال بعيدة المنال.



وحتى السؤال مع الثلاثيات ، والذي أغلقه بلوم وسيساك بالفعل ، في رأي العديد من علماء الرياضيات ، لا يساعد بشكل خاص. على الرغم من صعوبة إثبات أن كثافة Erds تضمن ثلاثة توائم متساوية من الأرقام ، يشك علماء الرياضيات في أن الكثافة الفعلية التي يتوقف عندها هذا الضمان عن العمل أقل بكثير - ربما أعلى بقليل من كثافة المجموعات التي صممها Berend.



قال بلوم: "هذا لا يعني أننا قد حللنا هذه المشكلة تمامًا. "لقد ألقينا المزيد من الضوء عليها".



قال فوكس إن بلوم وسيساك ربما استخرجا أفضل الطرق الحالية. وقال "يجب أن تكون هناك بعض الأدوات الجديدة تمامًا التي ستسمح لنا بالمضي قدمًا وتحقيق نتيجة أفضل بشكل كبير". ومع ذلك ، "ربما هذه ليست نهاية القصة".