سيثبت العلماء دائمًا نظرية الأعداد الأولية

لماذا يحب علماء الرياضيات إثبات نفس النتيجة بطرق مختلفة؟

تركيز الأعداد الأولية ، المشار إليها بالنقاط الصفراء على هذا الحلزون السداسي للأعداد الصحيحة الموجبة ، يتناقص مع المسافة من بداية خط الأعداد. يتم وصف هذا الانتظام الذي تم إثباته عدة مرات بواسطة نظرية توزيع الأعداد الأولية.



"لا يمكنك أن تؤمن بالله ، ولكن عليك أن تؤمن بالكتاب" - قال ذات مرة عالم الرياضيات المجري بال إردوس... يحتوي الكتاب ، الموجود من الناحية النظرية فقط ، على أكثر البراهين دقة لأهم النظريات. يلمح تأكيد إردوس إلى دافع علماء الرياضيات لمواصلة البحث عن براهين جديدة لنظريات مثبتة بالفعل. واحدة من مفضلاتهم هي نظرية توزيع الأعداد الأولية ، بحيث لا تقبل القسمة إلا على أنفسهم وعلى 1. وعلى الرغم من أن علماء الرياضيات لا يعرفون ما إذا كان الدليل سيصل إلى "الكتاب" ، يتنافس اثنان من الخصوم على المركز الأول ، ويثبت ذلك بشكل متزامن ومستقل وجدت في عام 1896 من قبل جاك هادامارد و تشارلز جان دو لا فاليه-بوسان .



إذن ما الذي تقوله هذه النظرية بالضبط؟



تجعل نظرية الأعداد الأولية من الممكن تقريب عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز عددًا معينًا n. تسمى هذه القيمة π (n) ، حيث π هي دالة توزيع الأعداد الأولية [ لا تتعلق بالرقم π / تقريبًا. ترجمة.]. على سبيل المثال ، π (10) = 4 لأن هناك 4 أعداد أولية تصل إلى 10 (2 ، 3 ، 5 ، و 7). وبالمثل ، π (100) = 25 ، حيث يوجد 25 عددًا أوليًا بين أول 100. من بين أول 1000 رقم ، هناك 168 عددًا أوليًا ، لذا π (1000) = 168 ، وهكذا. لاحظ أنه عند النظر إلى الأعداد الصحيحة الأولى 10 و 100 و 1000 ، فإن النسبة المئوية للأعداد الأولية فيها انخفضت من 40٪ إلى 25٪ و 16.8٪ على التوالي. تلمح هذه الأمثلة ، وتؤكد نظرية الأعداد الأولية أن كثافة الأعداد الأولية التي لا تتجاوز عددًا معينًا تتناقص مع زيادة هذا الرقم.



ولكن حتى لو كانت لديك قائمة مرتبة من الأعداد الصحيحة تصل إلى تريليون ، على سبيل المثال ، فمن سيرغب في حساب manually يدويًا (1،000،000،000،000)؟ توفر نظرية الأعداد الأولية فرصة لتوفير الطاقة.



تقول أن π (n) "مساوية بشكل مقارب" لـ n / ln (n) ، حيث ln هي اللوغاريتم الطبيعي. يمكن اعتبار المساواة المقاربة على أنها مساواة تقريبية ، على الرغم من أن هذا ليس صحيحًا تمامًا. على سبيل المثال ، دعنا نقدر عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز تريليون. بدلاً من حساب الأعداد الأولية الفردية لحساب π (1،000،000،000،000) ، يمكنك استخدام هذه النظرية ومعرفة أن هناك ما يقرب من 1،000،000،000،000 / ln (1،000،000،000،000) ، وهو ما يساوي 36،191،206 825 عند تقريبه إلى أقرب عدد صحيح. وهذا التقدير يختلف عن العدد الحقيقي 37607912 018 بنسبة 4٪ فقط.



مع المساواة المقاربة ، تتحسن الدقة مع زيادة الأرقام المستبدلة في الصيغة. في الواقع ، كلما اقتربنا من اللانهاية - وهو ليس رقمًا في حد ذاته ، ولكنه ببساطة شيء أكثر من أي رقم - تقترب المساواة المقاربة من المساواة الحقيقية. وعلى الرغم من أنه سيتم دائمًا التعبير عن العدد الحقيقي للأعداد الأولية في صورة عدد صحيح ، فإن القيمة على الجانب الآخر من المساواة المقاربة ، أي الكسر الذي يظهر فيه اللوغاريتم الطبيعي ، يمكن أن تأخذ أي قيمة على الخط الحقيقي. هذه العلاقة بين الأرقام الحقيقية والأرقام الصحيحة هي على الأقل غير بديهية.



كل هذا يذهل العقل قليلاً ، حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات. والشيء غير السار هو أن بيان النظرية حول توزيع الأعداد الأولية لا يقول شيئًا عن سبب صحة هذه العلاقة.



"لم تكن النظرية ذات قيمة من تلقاء نفسها. قال مايكل بود ، أستاذ الرياضيات في جامعة كوينزلاند للتكنولوجيا في أستراليا ، "الأمر كله يتعلق بالإثبات" .



في حين أن البراهين الأصلية لـ Hadamard و La Vallée-Poussin كانت أنيقة ، إلا أنها استندت إلى تحليل معقد - دراسة وظائف الأعداد المركبة - التي لا يحبها بعض الناس ، لأن تأكيد النظرية نفسها لا علاقة لها بالأرقام المركبة. ومع ذلك ، بشر جودفري هارولد هاردي في عام 1921 بظهور الأدلة غير التحليلية - ما يسمى. إثبات أولي - النظرية الخاصة بتوزيع الأعداد الأولية " غير مرجحة للغاية " ، وذكرت أنه إذا وجدها شخص ما ، "فسيتعين عليها إعادة كتابة النظرية".



أتلي سيلبرجوتصدى إردوس نفسه للتحدي ، وفي عام 1948 نشر كل منهما برهانًا أوليًا جديدًا ومستقلًا على نظرية الأعداد الأولية باستخدام خصائص اللوغاريتمات. دفعت هذه الأدلة علماء الرياضيات الآخرين إلى التفكير في مناهج مماثلة لفرضيات نظرية الأعداد التي كانت تعتبر سابقًا بسيطة جدًا لمثل هذه العبارات المعقدة. نتيجة لذلك ، تم الحصول على العديد من النتائج المثيرة للاهتمام ، بما في ذلك الدليل الأولي لهيلموت ماير في عام 1985 حول عدم التجانس غير المتوقع في توزيع الأعداد الأولية.



قال فلوريان ريختر ، عالم الرياضيات في جامعة نورث وسترن ، والذي نشر مؤخرًا دليلًا أوليًا جديدًا: "نظرية الأعداد الأولية بها الكثير من الأسئلة التي لم يتم حلها".هذا البيان الشهير. وجدها ريختر أثناء محاولته إثبات العواقب بعيدة المدى لنظرية الأعداد الأولية.



بمرور الوقت ، ساعد منظرو الأعداد في إنشاء ثقافة يثبت فيها علماء الرياضيات النظريات ويعيدون إثباتها ليس فقط لاختبار الادعاءات ، ولكن أيضًا لتحسين مهارات إثبات النظرية وفهم الرياضيات المستخدمة.



هذا خارج نطاق نظرية الأعداد الأولية. جمع باولو ريبنبويم ما لا يقل عن 7 أدلة على لانهاية الأعداد الأولية. حدد ستيفن كيفوفيت وتيرا ستامبس 20 قطعة من الأدلة تظهر أن السلسلة التوافقية 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... لا تتقارب مع رقم محدد ، بينما كيفوفيت أضاف 28 أكثر لهم... يسرد بروس راتنر أكثر من 371 دليلًا على نظرية فيثاغورس ، بما في ذلك أمثلة رائعة من إقليدس وليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي العشرين جيمس أبرام غارفيلد ، الذي كان حينها عضوًا في الكونجرس من ولاية أوهايو.



إن عادة البحث عن أدلة مكررة متأصلة في المجتمع بحيث يمكن لعلماء الرياضيات الاعتماد عليها عمليًا. توم إدغار و يا جون آنه أشار إلى أن القانون من الدرجة الثانية من المعاملة بالمثل ، بالإضافة إلى الدليل الأصلي للغاوس من 1796، لديها 246 المزيد من البراهين . لقد رسموا مقدار الأدلة مقابل الوقت ، واستقراء أنه بحلول عام 2050 ، يمكن توقع الدليل رقم 300 لهذا القانون.



قالت صوفيا ريستاد ، طالبة دراسات عليا في جامعة كانساس: "أحب البراهين الجديدة على النظريات القديمة لنفس السبب الذي يجعلني أحب الطرق الجديدة والمنعطفات التي تؤدي إلى أماكن أعرفها" . تمنح هذه الطرق الجديدة علماء الرياضيات إحساسًا مكانيًا بالمكان الذي تجري فيه مساعيهم الفكرية.



قد لا يتوقف علماء الرياضيات أبدًا عن البحث عن طرق جديدة وأكثر وضوحًا لإثبات نظرية الأعداد الأولية ونظرياتهم المفضلة الأخرى. إذا كنت محظوظًا ، فسيتم تكريم البعض منهم لإدراجهم في "الكتاب".